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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Problème
Posté par DARAMANEE
sidère un ensemble Ω et deux ensembles C et S de parties de Ω. On suppose que C est stable
par intersection finie. On suppose que S est un λ-système, c'est-à-dire qu'il possède les deux propriétés suivantes :
• Si A ∈ S, B ∈ S et A⊂ B, alors B r A ∈ S
• Si (An)n∈N est une suite croissante d'éléments de S, alors ∪n∈NAn ∈ S
On suppose enfin que C ⊂ S et que Ω ∈ S
(1) Montrer qu'il existe un plus petit λ-système, noté S
0
qui contient C et Ω.
(2) On pose S1 = {B ∈ S0
: ∀A ∈ C, A ∩ B ∈ S0
} . Montrer que S
0 ⊂ S1
(3) On pose S2 = {B ∈ S0
: ∀A ∈ S0
, A ∩ B ∈ S0
} . Montrer que S
0 ⊂ S2.En déduire que S
0
est stable par
intersection finie.
(4) En déduire que S contient la tribu σ (C) engendré par C
(5) De tout ce qui précède, démontrer le théorème d'unicité des mesures.
Théorème : Soient (Ω,A) un espace mesurable et C une classe de partie de Ω qui engendre A, qui est
stable par intersection finie et qui contient une suite croissante (En)n>1 d'éléments tels que Ω = ∪n>1En. Si m1
et m2 sont deux mesures σ−finies sur (Ω,A) telles que pour tout A ∈ C on ait m1(A) = m2(A) 6 ∞, alors m1
et m2 sont égales.
Indication : Montrer que S = {A ∈ A : m1(A) = m2(A)} est un λ-système qui contient C et Ω
Il y a le bouton 'Apercu'. Il faut l'utiliser pour vérifier si ce que tu postes est lisible...
Tu attends qu'on fasse l'effort de taper une réponse sur mesure pour ta question. Tu pourrais faire un effort un peu plus grand que simplement faire CtrlC / CtrlV
On considère un ensemble Ω et deux ensembles C et S de parties de Ω. On suppose que C est stable
par intersection finie. On suppose que S est un λ-système, c'est-à-dire qu'il possède les deux propriétés suivantes :
• Si A ∈ S, B ∈ S et A⊂ B, alors B r A ∈ S
• Si (An)n∈N est une suite croissante d'éléments de S, alors ∪n∈NAn ∈ S
On suppose enfin que C ⊂ S et que Ω ∈ S
(1) Montrer qu'il existe un plus petit λ-système, noté S
0
qui contient C et Ω.
(2) On pose S1 = {B ∈ S0
: ∀A ∈ C, A ∩ B ∈ S0
} . Montrer que S
0 ⊂ S1
(3) On pose S2 = {B ∈ S0
: ∀A ∈ S0
, A ∩ B ∈ S0
} . Montrer que S
0 ⊂ S2.En déduire que S
0
est stable par
intersection finie.
(4) En déduire que S contient la tribu σ (C) engendré par C
(5) De tout ce qui précède, démontrer le théorème d'unicité des mesures.
*** message déplacé ***
Bonjour à toi aussi 
il y a un bouton "Aperçu", à côté du bouton "POSTER", j'imagine que tu ne l'avais pas vu ?
ton énoncé est à peu près illisible ....
et je cherche encore les traces de recherche ...
je t'invite à prendre connaissance de ces quelques conseils : 
Sujet ancien- ne plus donner ce lien-merci avant de répondre ....
*** message déplacé ***