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problème

Posté par
elfar 28-10-06 à 15:23

bonjour, voila g un exercice a faire et je n'arrive pas a trouver la solution voici le problème:

w=exp((2*i*pi)/n)
1. montrer que w^k =0 (k=0 a k= n-1)
cette question na m'a pas poser de probleme
2.calculer en fonction de p, S=w^(k*p) (k=0 a k= n-1)
je trouve que S = (1-w^(p*n))/(1-w^p)
c'est la suite du probleme où je bloque
soi z[/sub]0,....,z[sub](n-1) et on pose l [0,n-1] ,
U[/sub]l = w^(k*l)*z[sub]k  (k=0 a k=n-1)

3.simplifier U[/sub]o+....+U[sub](n-1)
endéduire z[/sub]o à l'aide de U[sub]o,...,U[/sub](n-1)

4.montrer que pour tout k,
z[sub]k = 1/n * w^(-k*l)*U[sub][/sub]l

voila merci beaucoup de m'aider.

Posté par
Bourricotre : problème 28-10-06 à 15:30

bonjour,

inscrit depuis 2 ans sur ce forum et tu ne sais toujours pas utiliser les balises [*sup] [*/sup] ni [*sub] [*/sub]   !!!!

x5 s'écrit en mettant 5 entre [*sup] et [*/sup]

Un s'écrit en mettant n entre [*sub] et[*/sub]

Et puis tu as peut-être remarqué il y a un bouton "Aperçu" cela permet de voir quelle est la forme de ce que tu vas envoyer ... donc tu peux rectifier ce qui n'est pas "lisible" !!

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 15:34


soi z0,....,zn-1  et on pose l[0,n-1] ,
Ul =w^(k*l)*zk (k=0 a k=n-1)

3.simplifier U0+....+Un-1
en déduire z0 à l'aide de U0,...,Un-1

4.montrer que pour tout k,
zk = 1/n * w^(-k*l)*Ul

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 15:35

4.montrer que pour tout k,
zk = 1/n * w^(-k*l)*Ul

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 15:56

\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}

1. \Bigsum_{k=0}^{n-1}\omega^k=0

2.
\Bigsum_{k=0}^{n-1}\omega^{k.p}=\left\{\begin{array}{cl} \\ n & \mathrm{si\ }p=0\\ \\ \frac{1-\omega^{p.n}}{1-\omega^p} & \mathrm{si\ }p\neq 0 \\ \end{array}\right.

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 15:58

oui les questions la j'avais trouvé la réponse mais il s'agit de la 3 et 4 qui me pose le plus de probleme

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 16:00

Citation :
j'avais trouvé la réponse

Non. Ce qui tu as indiqué pour la 2. était incomplet. Tu avais oublié le cas p=0.

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 16:03

ah oui effectivement désolé j'avais oublié de le noter dans le message escuser moi

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 16:23

Quelles sont les bornes de la somme pour la 4. ?

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 16:28

dsl c'est l=0 a l=n-1

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 16:41

3.
\begin{array}{rcl} \\ U_0+...+U_{n-1} &=& \Bigsum_{l=0}^{n-1}\Bigsum_{k=0}^{n-1}\omega^{k.l}z_k\\ \\ &=& \Bigsum_{k=0}^{n-1}\left(\Bigsum_{l=0}^{n-1}\left(\omega^k\right)^l\right)z_k\\ \\ &=& n.z_0+\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1-\omega^{k.n}}{1-\omega^k}z_k\\ \\ &=& n.z_0+\Bigsum_{k=0}^{n-1}\frac{1-1}{1-\omega^k}z_k\\ \\ &=& n.z_0 \\ \end{array}

\fbox{U_0+...+U_{n-1}=n.z_0}

\fbox{z_0=\frac{U_0+...+U_{n-1}}{n}}

Sauf erreur.

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 16:48

ok merci beaucoup,
pour la question 4 une reccurrence suffit ou pas?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 16:48

4.
\begin{array}{rcl} \\ \frac{1}{n}\Bigsum_{l=0}^{n-1}\omega^{k.l}U_k &=& \frac{1}{n}\Bigsum_{l=0}^{n-1}\left(\omega^{_k.l}\Bigsum_{j=0}^{n-1}\omega^{j.l}z_j\right)\\ \\ &=& \frac{1}{n}\Bigsum_{j=0}^{n-1}z_j\left(\Bigsum_{l=0}^{n-1}\omega^{(j-k)l}\right)\\ \\ &=& z_k+\frac{1}{n}\Bigsum_{0\le j\le n-1\\j\neq k}z_j\left(\Bigsum_{l=0}^{n-1}\omega^{(j-k)l}\right)\\ \\ &=& z_k+\frac{1}{n}\Bigsum_{0\le j\le n-1\\j\neq k}z_j\frac{1-\omega^{n(j-k)}}{1-\omega^{j-k}}\\ \\ &=& z_k+\frac{1}{n}\Bigsum_{0\le j\le n-1\\j\neq k}z_j\frac{1-1}{1-\omega^{j-k}}\\ \\ &=& z_k \\ \end{array}

Donc \fbox{z_k=\frac{1}{n}\Bigsum_{l=0}^{n-1}\omega^{k.l}U_k}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
elfarre : problème 28-10-06 à 16:54

ok d'accord je vous remercie beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème 28-10-06 à 16:55

Je t'en prie.


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