Niveau Maths sup

Probleme arctan,arcsin,arccos

Posté par ogozinus (invité) 03-11-04 à 11:26

Bonjour tout le monde
Je me résigne a devoir vous demander un peu d'aide pour mon DM de maths que je dois rendre (en esperant que mon prof ne traine pas par là !!hi)

Plus serieusment, je suis conincé depuis 3 jours sur quelque chose qui m'a l'air simple:

On me demande de montrer que
2arctan(x)=arctan(2x/(1-x²))=arcsin(2x/(1+x²)=arccos((1-x²)/(1+x²))

sur un domaine que l'on determinera et a l'aide d'étude de fonction puis de formules en T

j'ai réussis a montrer l'egalite entre les 2 premieres membres en soustrayant 1-2 et en dérivant, la derivee est nulle. ensuite par tableau de variation.. pour definir l'intervale de validité, pour les 2 premiers memebres j'ai trouivé ]-1;1[

Mais aprés je suis coincé, je n'arrive rien a trouver, car les derivée ne s'anullent pas alors si qn pouvait me donner une amorce, ca serai tres sympa.

Merci, jattends votre aide avce impatience...

Posté par re : Probleme arctan,arcsin,arccos 03-11-04 à 12:47

Je t'aide pour l'arcsin.

g(x) = arcsin(2x/(1+x²)
g'(x) = [1/V(1 - (2x/(1+x²))²)] * [(2(1+x²)-4x²)/(1+x²)²]
g'(x) = [1/V(((1+x²)² - 4x²)/(1+x²)²)] * [(2(1+x²)-4x²)/(1+x²)²]
g'(x) = [(1+x²)/V(1+x^4+2x²-4x²)] * [(2(1+x²)-4x²)/(1+x²)²]
g'(x) = [1/V(1+x^4-2x²)] * [(2(1+x²)-4x²)/(1+x²)]
g'(x) = [1/V((1-x²)²)] * 2.[(1+x²)-2x²)/(1+x²)]

Si x est dans [-1 ; 1] ->
g'(x) = [1/(1-x²)] * 2.[(1-x²)/(1+x²)]
g'(x) = 2/(1+x²)

Qui est égal à la dérivée de 2.artg(x)
---
Si x est dans ]-oo ; -1[ U ]1 ; oo[ ->
g'(x) = -[1/(1-x²)] * 2.[(1-x²)/(1+x²)]
g'(x) = -2/(1+x²)

Qui est égal à - la dérivée de 2.artg(x)
-----
Je te laisse essayer avec l'arccos.

(Attention, ce n'est pas parce que les dérivées de 2 fonctions sont égales que cela implique que les fonctions sont égales, cela implique simplement qu'elles sont égales à une constante près ...)

Sauf distraction.

Posté par ogozinus (invité)re : Probleme arctan,arcsin,arccos 03-11-04 à 14:24

merci pour ta réponse, je vais essayer d'étudier ca de près, (pour les derivées, j'ai fait attention a la constante (je l'ai éliminé a l'aide d'un tableau de variation??) .. merci quand meme de me l'avoir signalé)

J'ai un problème, je ne comprends pas comment tu fait pour te retrouver avec une dérivée aussi simple entre 1 et -1

Donc si je comprends bien, ton raisonnement le fait que je retrouve 2/(1+x²) comme dérivée est suffisant pour dire que sur l'intervalle -1 1

en tous cas merci, j'essaye et je te poset mon résultat

Posté par coul (invité)re : Probleme arctan,arcsin,arccos 03-11-04 à 22:13

bonjour!
je crois qu'il sagit d'un problème de formules.
nous avons que:
cos(2a)=(cosa)^2-(sina)^2 et comme (cos)^2+(sina)^2=1 alors je procède par une division par (cos)^2+(sina)^2
l'expresion cos(2a)=(cosa)^2-(sina)^2/ [(cos)^2+(sina)^2].
et je trouve après une simplication par (cosx)^2 tous les termes;cos(2a)=(1-(tan(a)^2)/(1+(tan(a)^2).
2a=arccos((1-(tan(a)^2)/(1+(tan(a)^2)).
je pose a=arctan(x)
donc 2arctan(x)=arccos[(1-x)/(1+x^2)] cqfd ok! sauf distraction.
pour le sin(2a)=2.sin(a)cos(a) toujours lnous divisons le second membre par (cosa)^2+(sina^2=1
sin(2a)=2.sin(a)cos(a)/(cosa)^2+(sina)^2 et je trouve
sin(2a)=2.tana/(1+(tan(a)^2)
2a=arcsin(2.tana(1+(tan(a)^2)
je pose a=arctan(x)
donc 2arctan(x)=arcsin(2*x/(1+x^2)) cqfd sauf distraction ok!