bonsoir

ben il y a 27! façons de placer les 27 cubes

maintenant, pour placer les 8 coins qui conviennent : 8! façons
puis les 6 centres de faces qui conviennent : 6!
puis les 12 centre d'arêtes qui conviennent : 12!
(pour le cube central, une seule façon)
d'où la proba :
8!.6!.12!/27!

mm

Merci beaucoup MatheuxMatou, je m'attendais à + compliqué mais c'était pour être sûr...

Merci encore !!!

pas de quoi !

Une proba c'est quand même généralement inférieur à 1...^^

J'avais pas vu le 27!. Au temps pour moi.

Bonsoir à tous,

MM j'ai un doute : prends le problème plus simple où le grand cube est formé de 8 petits cubes; ce sont tous des coins (3 faces noires,3 faces blanches); ton raisonnement donne une probabilité égale à 1, non ?

Bonjour,


Une petite question indiscrète : on ne fait ce genre d'exo en master de quoi ?  

c'est exact PIL... j'ai considéré dans l'énoncé uniquement le problème du placement des cubes et pas de leurs rotations possibles. tu as raison, c'est beaucoup moins simple (j'ai pris cela comme un problème d'anagramme)

Julien : mon raisonnement est faux (merci PIL)... excuse moi

Julien 007,

Les questions que tu posent font partie d'un concours où il n'y a pas de prix, sinon l'honneur d'y avoir apporter ses propres solutions.
Dès lors, je ne vois pas l'intérêt de demander les solutions sur un forum !
Si tu ne peux pas les résoudre par toi-même, il vaudrait mieux s'abstenir de participer.

r².

Je suis d'accord avec toi pierrecarre mais je voudrais savoir les résoudre.
Malheureusement, je ne réussis pas tous les problèmes qu'on me pose et voilà, je suis intéressé par la recherche d'une solution (parfois de manière désespérée).
Et puis, déssolé, je suis nouveau sur ce site et pourquoi y a-t-il une rubrique concours, alors ?

Tu peux déjà faire une recherche, car ce type d'exo a déjà été posté, sous des formes diverses.

Cherche sous "petits cubes".

Désolé mais j'ai été voir, il n'y a aucun topic qui contient mon problème...

Bonjour

bornéo : j'avais eu cet exercice à faire dans un DS en maths sup, après le cours sur les dénombrements....

Et pour les rotations des cubes, on calcule le nombre de faces noires divisé par le nombre 6 (nombre total de faces) ?

On ne peut pas prendre petit cube par petit cube et calculer à chaque fois la proba de tomber sur le bon ?
Long, mais pas difficile.  

Oui mais je ne vois pas comment on fait...


Et on élève le résultat à la puissance 27 ?

Enfin, je veux plutôt dire qu'on effectue un produit de 27 probabilités pas toutes égales ?

En fait, il ne suffit pas de mettre le "bon cube" à la bonne place, il faut encore le mettre dans la bonne position (pour les cubes asymétriques).

En fait, il n'y a que le cube tout blanc qui sera forcément dans la bonne position, s'il est posé au bon endroit.

Moi, si je devais résoudre ce problème, je ferais une maquette.  

julien007 je pense que l'intérêt de ce genre de problème n'est pas dans la réponse, mais dans ce que t'apprend la recherche de la solution.

Mon idée est de décider de l'ordre arbitraire dans lequel je vais remonter mon cube, et de tirer l'un après l'autre les petits cubes à l'aveugle d'une urne. A chaque tirage, je détermine la proba que mon petit cube soit au bon endroit et dans la bonne position. Je multiplie toutes ces probas. C'est la méthode "bourrin". La méthode experte, je ne la connais pas.

Aux "pros" de me dire si mon raisonnement tient la route.  

Oui, je pensais à ca justement mais c'est juste les rotations qui me posent problème...

Sinon, j'aurais résolu comme MM : en calculant le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles mais MM a aussi oublié les rotations...

Pour chaque petit cube, il y a une proba d'être dans la bonne position. A calculer...

Donc 8 * (6 choose 3) pour les cubes sommets et fois 8! pour les permutations
     6 * (6 choose 1) pour les cubes centraux et fois 6! pour les permutations
    12 * (6 choose 2) pour les cubes centres d'arêtes et fois 12! pour les permutations


???

Bonsoir,

Halmos disait que lorsqu'un problème résiste, il faut essayer un problème du même genre mais plus simple. Je prends le cas d'un cube formé de 8 petits cubes, donc tous les petits cubes sont des coins du grand cube. Un petit cube peut être posé de 24 façons différentes : 6 choix pour la face au sol et 4 rotations qui conservent cette face au sol. Ce petit cube est un coin du grand cube : parmi les 24 possibilités il y en a 3 qui garantissent les faces noires à l'extérieur; donc la probabilité qu'un petit cube soit "bien placé" est 1/8. La probabilité que le grand cube soit noir est donc (1/8)⁸.
Qu'en pensez-vous ?  

Pourquoi on a 4 rotations qui conservent la face au sol ?

On fait tourner 4 fois pour citer ces rotations ?

Mais pour le 3x3x3, on doit tenir compte des autres "types" de cubes ?

Pour tes deux premières questions, amuse toi avec un dé ...
Pour la troisième, c'est la difficulté; si tu te fixes une procédure de reconstruction du grand cube, tu dois déterminer les probabilités de tirer les petits cubes dans le bon ordre ( par exemple un coin, une arête, un coin, ...) et les probabilités de les poser correctement ...

Donc on a 1/27 la probabilité de placer un des 27 cubes dans une des 27 places du grand cube ?

Mais, je pense que je vais laisser tomber : vous n'y arrivez pas non plus je pense

Parce qu'il faut encore tenir compte du fait que le petit cube tiré parmi les 27 possède le bon nombre de faces noires et qu'il ait été placé à la bonne place parmi les 27 places disponibles : par ex pour un cube sommet, il faut 3 faces noires et qu'il soit un des 8 sommets, sinon impossible...

Je suis trop mort, ca fait une semaine que je cherche et j'en peux plus

8 possibilités sur 27 => aussi 8/27 ?

et après on multiplie par 8 pour le nombre de cubes sommets ?

Je crois qu'on a eu ce genre de problème il y a quelques années, en énigme officielle.

Je m'étais aidée d'apéricubes

Et attends, le raisonnement c'est pas du genre :

au 1e tirage, on a autant de chances de tirer un cube sommet et puis le placer
au 2e tirage, on a autant de chances de tirer un 2e cube sommet parmi les 26 restants et puis 1 des 7 places sommets restants
au 3e tirage,...

au 8e tirage,...

au 9e tirage, autant de chances de tirer un des 6 cubes centraux et puis le placer dans un des 6 endroits possibles ?

etc

???

Je te mets un lien vers un problème très similaire : Enigmo 71 : une histoire de cubes

Bonne chance...  

Bon, je re-tente un raisonnement et vous me direz ce que vous en pensez...

Pour constituer le cube complet, je dois décider d'un placement ordonné des 27 cubes, chacun ayant 24 positions possibles dans l'espace.

Admettons que je commence par mettre les 8 coins, puis les 12 centres d'arêtes, puis les 6 centres de faces pour finir par le cube central.

Pour le premier que je place, 27 possibilités pour le choisir et 24 pour le tourner.
Pour le deuxième : 26 pour le choisir et 24 pour le tourner
Pour le troisième : 25 pour le choisir puis 24 pour le tourner...

on comprend que j'ai en tout 27!.24²⁷ possibilités pour arranger tous mes petits cubes (même si certaines de ces possibilités donnent le même résultat visuel je suis obligé de les distinguer pour une raison d'équiprobabilité... disons que chaque cube est un dé à face numérotée et noire ou blanche)

maintenant regardons celles qui nous donnent un gros cube à faces noires :

pour le premier coin, j'ai 8 possibilités pour le prendre parmi ceux à 3 faces noires et il y a 3 positions convenant parmi les 24 orientations possibles... pour le suivant 7 possibilités et 3 orientations convenant... etc
donc pour positionner correctement les coins, j'ai 8!.3⁸ cas favorables

pour les centres d'arête, une fois le cube à 2 faces noires choisi, j'ai 2 orientations de ce cube qui conviennent... on comprend qu'il y a donc 12!.2¹² façons de choisir et bien positionner les 12 cubes centres d'arête.

pour les centre de face, une fois le cube choisi (à 1 face noire), il y a 4 orientations qui le positionnent correctement... donc 6!.4⁶ façons de bien positionner les 6 cubes centres de face.

enfin pour le cube central, une seule façon de le choisir et 24 orientations possibles.

je dirais que la probabilité cherchée vaut



soit environ 2.10^-37 ... (on s'attendait de toute façon à un résultat très faible !)

qu'en pensez-vous ?

mm

Ouf, sacré réflexion, j'attends confirmation des "pros"

hou la la... j'ai oublié de mettre des accolades pour que mes puissances s'écrivent correctement !
je recommence :



voilà, c'est mieux

mm

Je propose qu'on reconstruise d'abord la couche du fond en posant 9 petits cubes dans l'ordre suivant :
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Le 1er est un coin: probabilité de tirer un coin : 8/27; probabilité de bien le placer : 1/8  (voir mon post de 21:43)
Le 2ème est une arête: probabilité de tirer une arête : 12/26 ; probabilité de bien la placer : 2/24 = 1/12;
etc
Tu passes ensuite à la 2ème couche puis à la 3ème.

Il a réussi ???!!!

(merci Bornéo... mais bon, les "pros" se trompent aussi parfois ! surtout sur des trucs aussi piégeux, j'attends quand même confirmation d'autres "pros" pour être sûr...)

J'arrive un peu tard !
MM, j'obtiens le même résultat que toi !

Tu as regardé mon lien de 22:48 ?

Enigmo 71 : une histoire de cubes

Il y avait eu beaucoup de s  

Et la merveille, c'est que j'obtiens en réessayant chez moi le même résultat !!!

Merci MM et à tous, je suis super content et heureux d'avoir animé ce forum

non Bornéo, je n'ai pas regardé mais je vais aller jeter un oeil

PIL : oui, sans être rédigée pareil, l'amorce de ton raisonnement recolle parfaitement avec le mien.

Bornéo : ah ben effectivement, c'était exactement ça ! me suis creusé les méninges pour rien !