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Problème avec des fonctions analytiques
Bonjour à tous,
J'ai essayé de résoudre un problème dans 
. J'aimerais connaître votre avis sur mes réponses :
On considère l'ouvert de défini par : { z € C ; Re > |Im(z)|. De plus, pour tout entier k
0 et tout z 
U, on pose Uk(z)=
( 1 ) Dessiner l'ouvert U (Facile)
( 2 ) Mq pr t k 0, la fonction Ukest analytique dans U.
>> On dit que la fonction Uk est une fraction rationnelle sans pole donc elle est analytique.
( 3 ) Soient k1 un entier et z = x+iy un élément de U. Montrer que :
- si 
, alors Re(z)(
>> On sait que Re(z)( Donc on a directement la réponse.
- si , alors |Im(z)|(
>> |2yx| | |y| x y | donc on a l'égalité.
- En déduire que |
>> on écrit la définition du module et on majore.
( 4 ) Montrer que la série g(z)=
k=1+
Uk(z) converge normalement sur U.
>> J'ai majoré le terme général Uk par qui est une série de Riemann convergente donc la série converge normalement.
( 5 ) Montrer que la formule f(z)=k=1+ Uk(z) définit une fonction analytique dans U.
>> On a dit que Uk était analytique or la somme d'une fonction analytique est analytique.
Est-ce correct ?
Merci de vos réponses.
En fait je ne suis pas sûr des réponses 2 4 et 5
Pour prouver qu'une fonction est analytique j'ai un peu de mal sans passer par la definition de l'holomoprhie
Et bien analytique et holomorphe c'est équivalent,ici tu as une fraction rationnelle et les poles sont hors de l'ouvert comme tu l'as dit donc c'est bien holomorphe.
Pour la convergence normale par contre il faut plutot majorer sans dépendance en z.
Il suffit juste de dire ca, pas de démonstration?
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