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Probleme avec les variétés
Bonjour!
j'ai deux exercices que j'ai essayé de faire mais je sèche sur certains trucs^^
Exo n°1
Montrer que SL(n,
)est une sous variété de l'espace vectoriel des matrices n*n. A traiter pour n=2; qu'en est-il de l'espace des matrice vérifiant detA=0?
pour la première partie c'est fait, c'est le reste qui me pose problème.
Exo n°2:
Montrer que l'application ]-
,1[
²
t
((t²-1)/(t²+1),[t(t²-1)]/(t²+1))
est une immersion injective, mais que son image n'est pas une sous-variété de ²
pour l'immersion c'est fait . dois-je vérifier que ce n'est pas un plongement pour dire que ce n'est pas une sous variété?
Merci pour votre aide.
1) L'espace des matrices vérifiant det(A)=0 n'est pas une sous-variété. Si c'était le cas, elle serait de dimension 3 (dans le cas n=2) donc il y aurait un voisinage de la matrice nulle homéomorphe à une boule de R3. Essaye de montrer que c'est faux.
2) la limite quand t tend vers 1 est (0,0) qui est déjà obtenu pour -1. Aucun voisinage de (0,0) ne peut être homéimorphe à un segment de droite (pour raisons de connexité).
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