Pour faciliter l'écriture, je remplace Pps par A et Pmus par B


A*(1-e^(-t/a)) - B*(1-t/b)² + B = R*V'(t) + E*V(t)

a)
Solutions de R*V'(t) + E*V(t) = 0
-> pR + E = 0
r = -E/R

V = C.e^(-Et/R)

b)
Equation particulière de l'équation avec second membre.

A*(1-e^(-t/a)) - B*(1-t/b)² + B = A + B² - A.(e^(-t/a)) +2Bt/b + Bt²/b²


Pour A + B² -> V = (A+B²)/E

Pour - A.(e^(-t/a)):
Solution de la forme: V = k1.e^(-t/a)
V' = -(k1/a)e^(-t/a)
RV' + E.V = -R(k1/a)e^(-t/a) +  E.k1.e^(-t/a)
second membre à identifier avec  - A.(e^(-t/a))
-> -R.k1a + E.k1 = -A
k1 = A/(aR-E)
-> solution: V = [A/(aR-E)].e^(-t/a)

Pour Bt²/b²
Solution de la forme: V = k1.t² + k2t + k3
V' = 2k1.t + k2
RV' + E.V = 2k1.R.t + k2.R + E.k1.t² + E.k2.t + k3.E
RV' + E.V = E.k1.t² + (2k1.R + E.k2).t + k2.R + k3.E
second membre à identifier avec Bt²/b²
-> le système:
E.k1 = B/b²
2k1.R + E.k2 = 0
k2.R + k3.E = 0

k1 = B/(b²E)
k2 = -2k1R/E = -2BR/(b²E²)
k3 = -k2.R/E = 2BR²/(b²E³)
-> solution: V = (B/(b²E))t² - (2BR/(b²E²)).t + 2BR²/(b²E³)

Finalement:
Solution particulière de l'équation avec second membre:
V = (A+B²)/E + [A/(aR-E)].e^(-t/a) (B/(b²E))t² - (2BR/(b²E²)).t + 2BR²/(b²E³)
-----
Solutions générales de l'équation différentielle:

V = C.e^(-Et/R) + (A+B²)/E + [A/(aR-E)].e^(-t/a) (B/(b²E))t² - (2BR/(b²E²)).t + 2BR²/(b²E³)

V = C.e^(-Et/R) + (Pps+Pmus²)/E + [Pps/(aR-E)].e^(-t/a) (Pmus/(b²E))t² - (2Pmus.R/(b²E²)).t + 2Pmus.R²/(b²E³)
Avec C une constante réelle.
-----
Sauf distraction (tu as intérêt à vérifier, je suis distrait et ne relis rien).

Je repose l'équation
Pps*(1-exp(-t/a)) - Pmus*(1-t/b)² + Pmus = R*V'(t) + E*V(t)

J-P merci pour ton aide mais ta résolution est bouré de fautes
ex:dans le développement du 2nd membre
moi je trouve pas de B²

et puis apres j'ai pas tout compris a ta méthode
Si tu pouvais tenter de me réexpliquer

La dernière ligne de ma réponse était explicite.
IL FAUT TOUR VERIFIER

Il y a sans doute des erreurs dans ma réponse. comme le B² qui devrait être B et ...

Il me semble aussi ne pas avoir cherché la partie de la solution de l'équation avec second membre concernant la partie 2Bt/b et donc ce morceau manque dans la finale.

Mon but n'est pas de faire les exercices mais d'en dire suffisament pour aider.

A toi normalement de corriger ce qui est faux.
-----
Je corrige ce que je vois en vitesse:

b)
Solution particulière de l'équation avec second membre.

A*(1-e^(-t/a)) - B*(1-t/b)² + B = A - A.e^(-t/a) - B(1 - 2t/b + t²/b²) + B

A*(1-e^(-t/a)) - B*(1-t/b)² + B =  A - A.e^(-t/a) + 2t/b - Bt²/b²
-----
Pour la partie A:
V = A/E convient comme solution.

(En effet: V' = 0 et donc R*V'(t) + E*V(t) = E*A/E = A -> c'est bon)
-----
Pour la partie - A.(e^(-t/a)):

Pour - A.(e^(-t/a)):
Solution de la forme: V = k1.e^(-t/a)
V' = -(k1/a)e^(-t/a)
RV' + E.V = -R(k1/a)e^(-t/a) + E.k1.e^(-t/a)
second membre à identifier avec - A.(e^(-t/a))
-> -R.k1/a + E.k1 = -A
-R.k1 + E.k1.a = -Aa
k1 = -Aa/(aE-R)
-> solution: V = -[Aa/(aE-R)].e^(-t/a)
-----
Pour la partie -Bt²/b²
Solution de la forme: V = k1.t² + k2t + k3
V' = 2k1.t + k2
RV' + E.V = 2k1.R.t + k2.R + E.k1.t² + E.k2.t + k3.E
RV' + E.V = E.k1.t² + (2k1.R + E.k2).t + k2.R + k3.E
second membre à identifier avec -Bt²/b²
-> le système:
E.k1 = -B/b²
2k1.R + E.k2 = 0
k2.R + k3.E = 0

k1 = -B/(b²E)
k2 = -2k1R/E = 2BR/(b²E²)
k3 = -k2.R/E = -2BR²/(b²E³)
-> solution: V = -(B/(b²E))t² + (2BR/(b²E²)).t - 2BR²/(b²E³)
-----
Pour la partie  2t/b
Solution de la forme: V = k1t + k2
v ' = k1
RV' + E.V = R.k1 + Ek1.t + Ek2
RV' + E.V = Ek1.t + Rk1 + Ek2
second membre à identifier avec 2t/b
-> le système:
Ek1 = 2/b
Rk1 + Ek2 = 0
-> k1 = 2/(bE) et k2 = -2R/(bE²)
-> solution: V =  (2/(bE))t -2R/(bE²)
-----
Finalement:
Solution particulière de l'équation avec second membre:

V = (A/E) - [Aa/(aE-R)].e^(-t/a) + (2/(bE))t -2R/(bE) -(B/(b²E))t² + (2BR/(b²E²)).t - 2BR²/(b²E³)
-----
Solutions générales de l'équation différentielle:

V = C.e^(-Et/R) + (A/E) - [Aa/(aE-R)].e^(-t/a) + (2/(bE))t -2R/(bE²) -(B/(b²E))t² + (2BR/(b²E²)).t - 2BR²/(b²E³)

V = C.e^(-Et/R) + (Pps/E) - [Pps.a/(aE-R)].e^(-t/a) + (2/(bE))t -2R/(bE²) -(Pmus/(b²E))t² + (2.Pmus.R/(b²E²)).t - 2.Pmus.R²/(b²E³)
-----
J'ai été un poil plus attentif (cela n'était pas difficile) mais je n'ai toujours rien relu.

A toi de tout vérifier.