bonsoir, pouvez vous m'aider svp pour un problème que je n'arrive pas a résoudre :


Soit a, b deux entiers naturels non nuls et s leur somme.
Une urne contient initialement a boules noires et b boules blanches indiscernables au toucher.
On effectue dans cette urne une suite innie de tirages au hasard d'une boule selon le protocole suivant :
- si la boule tirée est blanche, elle est remise dans l'urne ;
- si la boule tirée est noire, elle est remplacée dans l'urne par une boule blanche prise dans une réserve
annexe.
Avant chaque tirage, l'urne contient donc toujours s boules.
On désigne par (,B,P) un espace probabilisé qui modélise cette expérience et, pour tout entier naturel n non nul, on note :
-B_n l'événement " la n-ième boule tirée est blanche ";
-X_n la variable aléatoire désignant le nombre de boules blanches tirées au cours des n premiers tirages;
-u_n l'espérance de la variable aléatoire X_n, c'est-à-dire u_n = E(X_n).

Soit A l'ensemble des suites (x_n) avec n1 de réels qui vérifent :
pour tout entier naturel n non nul, sx_n+1 = (s − 1) x_n + b + n

1. Soit et deux réels et (v_n) avec n1  la suite définie par : v_n=n+
Déterminer en fonction de b et de s les valeurs de et pour que la suite (v_n) appartienne à A.

2. Soit (x_n) avec n1  une suite appartenant à A, (v_n) avec n1  la suite déterminée à la question précédente et (y_n) avec n1  la suite définie par : y_n = x_n − v_n .
Montrer que la suite (y_n) avec n1  est une suite géométrique et expliciter, pour tout entier naturel n non nul, y_n puis x_n en fonction de x₁, b, s et n.

3.Donner, en fonction de b et de s, les valeurs respectives de la probabilité P(B₁) et du nombre u₁.
4. Calculer la probabilité P(B₂) et vérifier l'égalité : P(B₂) = (b + 1 − u₁)/s
5. Soit n un entier naturel compris entre 1 et a. Montrer que, pour tout entier k de l'intervalle [[0,n]],
la probabilité conditionnelle P(B_n+1/[X_n = k]) est égale à (b + n − k)/s.
En déduire l'égalité : P(B_n+1) = (b + n − u_n)/s
6. Soit n un entier naturel vérifiant n > a.
Si k est un entier de l'intervalle [[0,n − a − 1]], quel est l'événement [X_n = k]?
Si k est un entier de l'intervalle [[n − a,n]], justifier l'égalité : P(B_n+1/[X_n = k]) = (b + n − k)/s
Montrer que l'égalité P(B_n+1) = (b + n − _un)/s est encore vérifiée.

7. Soit n un entier naturel non nul. Établir, pour tout entier k de l'intervalle [[n+1−a,n]], l'égalité :
P([Xn+1 = k]) = (a − n + k) /s * P([Xn = k]) + (b + n − k + 1)/s * P([Xn = k − 1])
Vérifier cette égalité pour k = n+1, k = n−a et pour tout entier k de l'intervalle [[1,n−a−1]] .
8. Calculer, pour tout entier naturel n non nul, un+1 en fonction de un et de n. En déduire que la
suite (un)n>1 appartient à l'ensemble A étudié dans la question 1
9. Donner, pour tout entier naturel n non nul, les valeurs de un et de P(Bn+1) en fonction de b, s
et n.
10 Quelles sont les limites des suites (un)n>1 et (P(Bn))n>1 ?


merci beaucoup et bonne soirée ! ^^