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Probleme costaud !

Posté par PANAMIEN (invité) 01-11-05 à 14:45

Soit Un une suite de nombres reel strictement positifs
(,)*+*]1,[ tel que Un+1/Un=1-(/n)+(1/n[/sup]) le sigma pour 1/n[sup]est en fait un petit o.

Montrer que
si >1 la serie de terme general Un converge
si<1 la serie diverge

Indication: en posant Vn=1/n[/sup] on comparera le comprtement asymptotique Un+1/Un et Vn+1/Vn

En considerant la nature de la serie de terme general Un= 1/(n(ln n)[sup]) montrer que =1 est un cas douteux
Toute aide est la bien venue.

Posté par
lolo217re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 14:57

fait un développement limité de  v_n+1 /v_n  comme indiqué !
ensuite démontre que u_n+1/u_n =<  v_n+1/v_n
à partir d'un certain rang alors la divergence de somme des  u_n  entraîne celle de somme des  v_n .

lolo

Posté par
lolo217re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 14:58

il manque un  "si"  avant mon inégalité

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 17:01

pour la seconde question quelqu un a une idee ?

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 18:16

j'ai calculé Un+1/Un et Vn+1/Vn.
Apres c'est koi leurs limites ???
Et petit o ça veut dire koi ?

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 19:43

comment on montre que Un+1/Un<Vn+1/Vn

Et si quelqu un a une idee pour la question 2

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 20:23

AU SECOURS !!!!
I need help.

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 20:51

ça fait trois jours que je suis dessus. si quelqu un pouvait m'aider ça m'eviterai d'avoir 0 demain.

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 20:58

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 20:58

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:02

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:05

je desespere

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:08

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:11

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:13

Pourquoi personne ne m'aide ?

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:17

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:17

Posté par PANAMIEN (invité)re : Probleme costaud ! 01-11-05 à 21:17

Posté par PANAMIEN (invité)DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 21:22

Soit Un une suite de nombres reel strictement positifs
(,)+**]1,[ tel que Un+1/Un=1-(/n)+o(1/n[/sup])

Montrer que
si >1 la serie de terme general Un converge
si<1 la serie diverge

Indication: en posant Vn=1/n[sup] on comparera le comprtement asymptotique Un+1/Un et Vn+1/Vn

En considerant la nature de la serie de terme general Un= 1/(n(ln n)[sup][/sup]) montrer que =1 est un cas douteux
Toute aide est la bien venue.

*** message déplacé ***

Posté par PANAMIEN (invité)re : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:13

Pourquoi personne ne m'aide ?

*** message déplacé ***

Posté par PANAMIEN (invité)re : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:15

personne ne sait faire cet exo ?

*** message déplacé ***

Posté par
sebmusikre : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:19

ce n'est pas que l'on ne sait pas faire c'est que ceux qui peuvent t'aider n'ont peut-etre pas encore lu ce message !

Seb

*** message déplacé ***

Posté par PANAMIEN (invité)re : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:20

Un correcteur pourrait il m'aider ?

*** message déplacé ***

Posté par
sebmusikre : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:21

je suis désolé mais je ne te serai d'aucune aide car je n'ai pas encore etudié cela.

Seb

*** message déplacé ***

Posté par PANAMIEN (invité)re : DM pour demain aucun resultat malgre recherche 01-11-05 à 22:22

merci qu'en meme d'avoir lu le sujet

*** message déplacé ***

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Probleme costaud ! 02-11-05 à 02:11

Bonsoir PANAMIEN et lolo217;
Quelques explications:
(*)L'écriture 3$\fbox{o(\frac{1}{n^{\beta}})} est employée pour désigner un terme négligeable devant 3$\frac{1}{n^{\beta}} c'est à dire que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\frac{o(\frac{1}{n^{\beta}})}{\frac{1}{n^{\beta}}}=0}.
(*)L'écriture 3$\fbox{O(\frac{1}{n^{\beta}})} est employée pour désigner un terme dominé par 3$\frac{1}{n^{\beta}} c'est à dire que le rapport 3$\fbox{\frac{O(\frac{1}{n^{\beta}})}{\frac{1}{n^{\beta}}}} est borné indépendamment de n autrement dit 3$\fbox{(\exists M\ge0)\hspace{5}(\forall n)\hspace{5}|O(\frac{1}{n^{\beta}})|\le\frac{M}{n^{\beta}}}.
et on voit qu'un petit taux est en particulier un grand taux (mais pas l'inverse)

Résolution:
Posons 3$\fbox{\forall n\ge1\\w_n=n^{\alpha}u_n} on a alors 3$\fbox{\frac{w_{n+1}}{w_n}=(1+\frac{1}{n})^{\alpha}\hspace{5}\frac{u_{n+1}}{u_n}} et donc que 3$\fbox{\frac{w_{n+1}}{w_n}=(1+\frac{\alpha}{n}+O(\frac{1}{n^2}))(1-\frac{\alpha}{n}+o(\frac{1}{n^{\beta}}))} et donc que 4$\fbox{\frac{w_{n+1}}{w_n}=1+O(\frac{1}{n^2})+o(\frac{1}{n^{\beta}}))} et on voit que 3$\fbox{ln(w_{n+1})-ln(w_n)} est equivalent à 3$\fbox{O(\frac{1}{n^2})+o(\frac{1}{n^{\beta}}))} et vu que 3$\fbox{\beta>1} on a que la série de terme général 3$\fbox{ln(w_{n+1})-ln(w_n)} est absolument convergente en particulier la suite (w_n) est convergente vers un réel K>0 et on a donc que la suite (u_n) est equivalente à 3$\fbox{\frac{K}{n^{\alpha}}}

Conclusion:
La série de terme général 3$(u_n) converge 3$\Longleftright3$\alpha>1

Remarque:
Je crois qu'il y a une erreur dans l'énoncé le cas douteux est plutot 3$\fbox{\alpha=\beta=1}

Sauf erreurs bien entendu


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