Niveau autre

Problème d'arcsinus

Posté par
petitmousse85 23-07-17 à 17:04

Bonjour à tous

Dans un problème de physique, j'ai été amené, par résolution numérique, à constater que, pour x réel positif inférieur à 0,04, on obtient, avec une erreur relative inférieure à 1% :

$\arcsin\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\approx\frac{\pi}{2}-2\frac{\sqrt{x}}{1+x}$

Il doit bien exister une justification théorique à cela... Merci d'avance de l'aide apportée.

Posté par re : Problème d'arcsinus 23-07-17 à 17:27

Salut !

On pose $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$

Alors $f'(x) = \frac{-2}{(1+x)^2} \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{1-x}{1+x})^2 }} = -\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}$

On va chercher une autre forme pour une primitive de

$\frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}$

$\int \frac{1}{\sqrt{x}(x+1)}dx =_{u = \sqrt{x}} \int \frac{2udu}{u(1+u²)} = 2Arctan(\sqrt{x}) + C$

$f(0) = \pi/2$ donne $C = \pi/2$

Ensuite tu peux faire un DL en 0 de $Arctan(\sqrt{x})$ ça doit pas être trop compliqué