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Problème d'arithmétique

Posté par
superjuju45 02-09-19 à 21:25

Bonjour, je bloque sur le problème suivant :

Pour n, on pose Fn = 1+2^{(2^{n})}
a) Etablir une relation entre Fn+1 et F0\times .....\timesFn
b) Soit m et n tels que m<n.
Montrer que Fm et Fn sont premiers entre eux.

Je bloque à la première question : j'ai essayé de montrer par récurrence forte que F0\times....\timesFn +2 = Fn+1.
Dans l'hérédité j'ai essayé de montrer que \prod_{k=0}^{n}{(1+2^{(2^{k})})} = (F_{n}-2)(1+2^{(2^{n})}) = .... = Fn+1 -2 ; mais je n'ai pas réussi.

Merci de votre aide.

Posté par
lionel52re : Problème d'arithmétique 02-09-19 à 22:09

Bah

(F_n - 2)(1 + 2^{2^n}} = (2^{2^n} - 1)(2^{2^n} + 1) = a^2 - b^2 = ...

Posté par
co11re : Problème d'arithmétique 02-09-19 à 22:55

Bonsoir
Fn+1 - 2 = 22^(n+1) - 1
                                            = (22^n + 1)(22^n - 1)
                                            = Fn*(Fn -2)
puis hypothèse de récurrence

Posté par
flightre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:06

salut

une idée mais je ne sais pas trop si ce  sera suffsant
j'obtiens  Fn+1= Fn²-2.Fn +2

on calcul ensuite le pgcd(Fm,Fn)   comme  m < n  on peut choisir n=m+1

soit pgcd(Fm,Fm+1)= pgcd(Fm,  Fm²-2.Fm +2 )

Posté par
flightre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:07

..puis on traite ca comme le pgcd de deux polynomes

Posté par
flightre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:35

..et en constatant que Fm est de parité .....

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:44

Bonjour,

Citation :
comme m < n on peut choisir n=m+1
Non, on peut choisir n = m+p avec p1 .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:51

En fait, tu n'as pas traité a).
Si j'ai bien compris ton énoncé, il faut faire apparaitre le produit des Fk pour k de 1 à n.

Posté par
flightre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:52

Bonjour   Sylvieg mais en quoi  n=m+1 ne serait pas correct ?  ( si on prend p=1)
j'ai juste choisi de prendre un cas particulier ici p=1

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 11:53

Dans ce but, exploite le message de co11.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 12:02

Mes messages de 11h51 et 11h53 sont destinés à superjuju45.
Ce dernier brille par son manque de réaction...

@flight,
J'avais mal regardé et considéré que le coup de \; n=m+1 \; venait de superjuju45.
La question b) est :
Si \; m < n \; \; alors \; \; Fm \; et \; Fn \; sont premiers entre eux.

Posté par
co11re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 13:54

Bonjour Sylvieg et flight

Citation :
Mes messages de 11h51 et 11h53 sont destinés à superjuju45.
Ce dernier brille par son manque de réaction...

C'est ce que je me disais aussi

A part ça j'aurais peut-être du exprimer plutôt exprimer Fn+2 en fonction de Fn+1 mais j'espère que superjuju adaptera .... s'il revient.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 14:02

Je trouve qu'avec Fn+1 ça va très bien.
superjuju45 pourra poser des questions, après avoir cherché à utiliser ton message et bien relu la question ; qui est, selon moi, faire apparaitre le produit des Fk pour k de 1 à n.

Posté par
co11re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 14:06

Et pour la question suivante, il me semble que l'algorithme d'Euclide marche :
***Egalité enlevée. Laissons le demandeur chercher un peu.***
Donc le reste de la division de Fn par Fm est 2
Puis celui de Fm par 2 .......

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 14:23

J'ai enlevé l'égalité.
Je pense ensuite qu'il y a plus simple que l'algorithme d'Euclide, en utilisant un des conseils de flight.

Posté par
co11re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 14:33

Ah ah justement je me demandais si je n'en disais pas un peu trop
Je vais regarder de plus près la proposition de flight

Posté par
carpediemre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 16:05

salut

il y a encore plus simple que ce que propose flight pour répondre à b/ une fois que a/ est résolue ...

et sans même utiliser une quelconque propriété du pgcd mais uniquement la règle fondamentale de l'arithmétique

Posté par
superjuju45re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 20:08

Bonjour, merci beaucoup pour toutes vos aides.
Désolé pour le temps de réponse mais j'avais cours de 8h à 18h aujourd'hui. J'ai tout de suite compris pour la a), en revanche je m'aide actuellement de vos indications pour la question b).

Posté par
superjuju45re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 20:15

C'est bon j'ai tout compris, merci à tous ceux qui ont écrit pour m'aider sur cet exercice.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 20:49

De rien, et à une autre fois sus l'île

Posté par
carpediemre : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 20:50

F_{n + 1} = F_n F_{n - 1} \cdots F_1F_0 + 2

si d divise Fm et Fn alors par combinaison linéaire il divise 2

or pour tout entier n Fn est ...

donc ...

Posté par
co11re : Problème d'arithmétique 03-09-19 à 22:49

Ah mais c'est bien sûr ! ☺


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