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Probléme d'équation différentielle, de DL, de continuité ...

Posté par
henri IV 25-05-06 à 15:18

Bonjour à tous, j'ai un probléme avec l'exercice suivant:
On considére l'équation différentielle suivante:y'+2Xy=1
On designe par f l'une de ses solutions sur , MAIS ON NE CHERCHE PAS ON L'EXPRIMER POUR L'INSTANT.
On me demande dans ces conditions de justifier que f est de classe  sur .
Ensuite j'ai montré quef admet en 0 un DL à tout ordre p (p entier naturel), on écrit alors un tel DL au moyen d'une suite de réels:(a_n)_{n \in N} f(x)= \sum_{k=0}^p a_kx^k + o(x^p)
Précédemment j'ai prouvé que : f^{(n+2)}(x)=-2xf^{(n+1)}(x)-2(n+1)f^{(n)}(x)
On me demande alors d'utiliser ce résultat pour montrer que 3$\forall k \in N,a_{2k+1}=\frac{(-4)^k.k!}{(2k+1}
Et là je suis parfaitement bloqué, ... Faut-il faire une récurrence sue k? Faut-il utiliser la formule nde Taylor-Young?
D'avance MERCI pour votre aide,
A trés bientôt sur ce forum.

Posté par
raymond CorrecteurProbléme d'équation différentielle, de DL, de continuité ... 25-05-06 à 16:50

Bonjour.
Tu sais que les coefficients de ton D.L. sont donnés par :
3$\textrm a_k = \frac{f^{(k)}(0)}{k!}. Or, ta formule de récurrence donne déjà :
3$\textrm f^{(n+2)}(0) = -2(n+1)f^{(n)}(0).
Je trouve : 3$\textrm a_{n+2} = \frac{-2}{n+2} a_n
Par ailleurs, tu sais que f'(0) = 1 par l'équation différentielle du début.
On a donc 3$\textrm a_{2k+1} = \frac{-2}{2k+1} a_{2k-1}. En écrivant en colonne et en effectuant le produit :
3$\textrm a_{2k+1} = \frac{(-2)^k}{(2k+1)(2k-1)...3} a_1. En multipliant haut et bas par (2k)! = 2kk!, on trouve ton résultat (c'est bien (2k+1)! au dénominateur ?).
Cordialement RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Probléme d'équation différentielle, de DL, de continuité 25-05-06 à 16:56

Bonjour;
En remarquant que \fbox{a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}} tu as en faisant x=0 dans l'expression \fbox{f^{(n+2)}(x)=-2xf^{(n+1)}(x)-2(n+1)f^{(n)}(x)} que \fbox{(n+2)!a_{n+2}=-2(n+1)a_nn!} c'est à dire que \fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\a_{n+2}=\frac{-2}{n+2}a_n} et en posant \fbox{n=2i-1\\i\ge1} tu as 2$\fbox{\forall i\in\mathbb{N}^*\\a_{2i+1}=\frac{-2}{2i+1}a_{2(i-1)+1}} tu poses maitenant $\fbox{\forall i\in\mathbb{N}^*\\b_i=a_{2i+1}} et tu remarques qu'alors 2$\fbox{\forall i\in\mathbb{N}^*\\\frac{b_i}{b_{i-1}}=\frac{-2}{2i+1}} et ainsi tu peux écrire 2$\fbox{\forall k\in\mathbb{N}^*\\\frac{b_k}{b_{0}}=\Bigprod_{i=1}^{k}\frac{b_i}{b_{i-1}}=\Bigprod_{i=1}^{k}\frac{-2}{2i+1}=\frac{(-2)\times(-2)\times..\times(-2)\times(-2)}{(2k+1)\times(2k-1)\times..\times3\times1}} le numérateur est (-2)^k et le dénominateut n'est que le produit des entiers impairs allant de 1 à 2k+1 en complétant ce produit par celui des entiers pairs allant de 2 à 2k c'est à dire par 2^kk! tu as que \fbox{b_k=b_0\frac{(-2)^k2^kk!}{(2k+1)!}=\frac{(-4)^kk!}{(2k+1)!}} et comme b_0=f'(0)=1 ( d'aprés l'équation différentielle dont f est supposée solution ) tu as enfin que 3$\blue\fbox{\forall k\in\mathbb{N}\\a_{2k+1}=\frac{(-4)^kk!}{(2k+1)!}}


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