Salut !

je sais pas trop ou me placer la :
le "En citant précisément le théoréme utilisé et en verifiant les hypothéses" fait pensé qu'il faut utiliser le théorème de convergence dominé.

les indication donné apres permetrai plutot de ne pas l'utiliser !

je vais supposer que tu connais ce théorème :



on va utiliser le théorème de convergence dominé.


fn(t)=exp(t)/(1+t^n)

converge simplement vers
f(t) = exp(t) si t<1
     =e/2 si t=1
     = 0 si t>1


et |fn(t)| < exp(t) continu integrabe.


on a donc toute les hypothése du théorème de convergence dominé : l'integral de fn tend vers l'integral de f qu'il ne te reste plus qua calculer selon que A est >1, ou <1 !

Salut,

on peut utiliser la convergence monotone aussi je pense.

ouai, mais il n'est plus aux programes des classes prépa aussi :p

Ok mais j'avais pas vu qu'il etait en prépa vu que je pensais que la convergence dominée n'y etait pas non plus.

Et bien en fait je ne connait pas non plus ce théoréme de convergence dominée ...
Existe-t-il une autre methode pour resoudre ce probléme...?

C'est assez contradictoire de ne pas voir le théorème de convergence monotone, mais de voir celui de convergence dominée...

Pour ce qui est de ton autre méthode, as tu vérifié que tu avais ou non convergence uniforme sur tes deux intervalles?
C'est quoi g? la restriction de l'exponentielle à [0,1]?

"C'est assez contradictoire de ne pas voir le théorème de convergence monotone, mais de voir celui de convergence dominée...">>> mon prof de math arrète pas de le dire :p, mais bon tous les cas on le th de convergence monotone s'applique ce traite avec le théorème de convergence dominé (ou avec le théorème de convergence en normé pour la réciproque).



"Et bien en fait je ne connait pas non plus ce théoréme de convergence dominée ...
Existe-t-il une autre methode pour resoudre ce probléme...?">>> et bien dans ce cas il va falloir bricolé un peu :p


si A>1
deja sur [1,A] exp(t)/(1+t^n) <exp(A)/(t^n)

donc 0< integral de 1 a A de fn(t) < exp(A)*integral de 1 a A de 1/t^n

l'integral de droite ce calcule, et on vérifie qu'elle tend bien vers 0, donc l'integral de 1 a A de fn tend vers 0



maintenant l'integral de fn sur [0,a] a<=1 :

on pose g(t) = exp(t)
g(t)-fn(t) = exp(t)*(t^n/(1+t^n)) < exp(a)*t^n

et la encore on verifie que integral de t^n entre 0 et a tend vers 0 quand n->+inf
d'ou le résultat !

mais bon tous les cas on le th de convergence monotone s'applique ce traite avec le théorème de convergence dominé
Non surement pas.
Le théorème de la convergence monotone est aux suites de fonctions, ce que le théorème de Tonelli est aux intervertions d'intégrales.
Le théorème de la converge dominée est aux suites de fonctions, ce que le théorème de Fubini est aux intervertions d'intégrales.

Le théorème de convergence dominée suppose l'existe d'une fonction dominante intégrable, ce qui n'est pas le cas du théorème de convergence monotone. Le théorème de convergence monotone permet de montrer que certaines intégrales divergent, ce que ne fais pas le théorème de convergence dominée.
En effet, il existe des suites de fonctions qui ne vérifient pas les hypothèses du théorème de C.D. et pour lesquelles la conclusion s'applique malgré tout.

sauf erreur de ma part :


le théorème de convergence monotone dit bien que :

"soitsoit I un interval et fn une suite de fonction integrable sur I telle que pour tous x fn(x) croit vers une limite f(x).

alors f est integrable sur I si et seulement si la suite "inegral sur I de fn" converge. et dans ce cas : lim integrale sur I de fn = integral sur I de f"

si on parle bien de ca, alors, "f integrable => integral de fn converge" c'est le th de convergence dominé, et "inegral de fn converge => f integrable" c'est le th de convergence en norme 1.


apres peut-etre qu'il y a un énoncé plus géneral de ce théorème ?

Effectivement, il y'a un énoncé plus général
a+

En gros, l'énoncé plus général nous permet également de conclure quant à la divergence d'une suite d'intégrale.
Je te réfère par exemple à wikipedia pour en savoir plus.
Amicalement,
otto