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problème d intrègrale(primitive)

Posté par catouou2 (invité) 26-07-05 à 14:18

bonjour, j'aurai besoin d'aide pour résoudre des problèmes mathématiques sur les intégrales.
en fait j'ai l'intégral et puis la réponse  donc il me faut le développement complet pour arriver a la réponse.

problème:
1)  intégrale(primitive) de
2/(divisé) par 3 x racine cubique de r + 2/ 3r au carré simplement le r et la réponse c racine cubique de r carré - 2/3r

merci d'avance pour votre aide.

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:22

>catouou2

peux-tu réécrire ta fonction en mettant les parenthèses pour éviter les ambiguïtés, stp

Merci

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:25

SInon, connais-tu :

f(x)=xn => F(x)=(1/(n+1)).xn+1 avec les conditions sur n qui vont bien ?

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:25

Sans oublier la Cte

Philoux

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:39

d'accord alors   ( 2 /3 fois racine cubique de r) +( 2/ 3 fois r au carré) et la réponse c'est( racine cubique de r au carré moins 2/ 3r)
/ =divisé.
voila c'est un changement de variable je crois et il me faut le développement complet.

merci.

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:46

JE crois avoir décrypté ton énoncé :

f(r)=(2/3).[(r)^(-1/3) + 1/r²]
en mettant 2/3 en facteur et en exprimant ta racine cubique de r au dénominateur par r à la puissance (-1/3)

intégrer (r)^(-1/3) donne  [ 1/(-1/3 + 1) ].(r)^(-1/3 + 1)
soit [ 1/(-1/3 + 1) ].(r)^(-1/3 + 1) = [ 1/(2/3) ].(r)^(2/3) = (3/2).(r)^(2/3)

intégrer 1/r² donne -1/r

donc

F(r)=(2/3).[ (3/2).(r)^(2/3) -1/r] + Cte

soit

F(r)= (r)^(2/3) - 2/(3r) + Cte

soit aussi, pour que tu comprennes ta correction :

F(r)= racine_cubique de r² - 2/(3r) + Cte


Philoux

Posté par
Nightmarere : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:46

Bonjour

Moi je ne comprend toujours rien

Est-ce :
3$\rm \frac{2}{3}\sqrt[3]{r}+\frac{2}{3}r^{2} ou 3$\rm \frac{2}{3\sqrt[3]{r}}+\frac{2}{3r^{2}}


Jord

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:48

C'est la deuxième NM

Philoux

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 14:58

merci tu a utilisé quel formule??
j'ai encore un problème a résoudre:
intégrale de :cos y / cos y + 1 dx et je dois obtenir comme réponse sin y/ cos + 1.

merci d'avance.
                                                    

Posté par
Nightmarere : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 15:03

Re

la fonction que tu cherche à primitiver par rapport à x ne dépend que de y est-ce normal ? un peu de rigueur ne ferait pas de mal

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 15:07

oui je pense c'est l'exercice qu'on m'a donné.

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 15:10

>catouou2 14:58

merci tu a utilisé quel formule??

N'hésites pas à lire les fiches de l' cours et exos corrigés : cela devrait t'aider :

un cours sur les primitives

tes énoncés sont trop ambigüs...

Philoux

problème d intrègrale(primitive)

Posté par
Nightmarere : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 15:16

Dans ce cas les primitives sont :
3$\rm x\to \frac{cos(y)}{cos(y)+1}x qui est loin d'être ce que l'on te donne

Par contre si ce que tu cherches est :
3$\rm I=\Bigint \frac{cos(y)}{cos(y)+1}dy
alors on écrit :
3$\rm I=\Bigint \(1-\frac{1}{cos(y)+1}\)dy

Or :
3$\rm \frac{1}{cos(y)+1}=\frac{1+cos(y)}{(1+cos(y))^{2}}=\frac{cos^{2}(y)+sin^{2}(y)+cos(y)}{(1+cos(y))^{2}}=\frac{cos(y)(cos(y)+1)-(-sin(y))\times sin(y)}{(1+cos(y))^{2}}

On reconnait la forme :
3$\rm \frac{u'v-uv'}{v^{2}} avec 3$\rm \{{u(y)=sin(y)\\v(y)=1+cos(y)
Ainsi
3$\rm \Bigint \frac{dy}{cos(y)+1}=\frac{sin(y)}{1+cos(y)}+C

D'ou:
3$\rm I=y-\frac{sin(y)}{1+cos(y)}+C


Jord

Posté par philoux (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 26-07-05 à 15:32

Bonjour NM

Vu la discontinuité de (sin(x)/(cox(x)+1) en kpi, je pense que la formulation que tu donnes n'est vraie que pour -pi < y < pi.

Toujours cette histoire de valeurs de constantes différentes selon les intervalles d'existences de f.

Qu'en penses-tu ?

Philoux

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 30-07-05 à 19:52

merci

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 30-07-05 à 20:08

je pense qu'on doit faire une intégration par partie pour cet exercice
cos y
========dy
cosy + 1

Posté par catouou2 (invité)re : problème d intrègrale(primitive) 31-07-05 à 18:45

personne ne sait m'aider? svp

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème d intrègrale(primitive) 01-08-05 à 04:47

Bonjour,

Je commence à être un peu perdu...

(1) catouou2, tu demandes de calculer \int \frac{cos y}{1 + cos y}dy, en précisant que l'on "doit obtenir" \frac{sin y}{1 + cos y}.
Je ne sais pas quel est le sens de "doit". Je pensais que l'on "devait obtenir" une primitive juste, ce qui n'est manifestement pas le cas de la solution que tu proposes. Il suffit de dériver pour s'en rendre compte :
(\frac{sin y}{1 + cos y})' = \frac{1}{1 + cos y} sauf erreur.

(2) Remarque générale
La fonction de départ est définie sur ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[, k\in\mathbb{Z}
Donc les primitives sont définies par morceaux sur les mêmes intervalles, et la constante n'est pas la même sur chaque intervalle.
Sur ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[,
primitive = ... + cste(k)
où cste(k) prend une valeur différente selon les intervalles ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[

(3) catouou2, hier à 18h45, tu demandes "personne ne sait m'aider? svp", alors que Nightmare t'a indiqué juste au-dessus la solution, qui est juste (il suffit de dériver pour s'en rendre compte), mis à part une petite imprécision sur les constantes (me semble-t-il) : cf. (2)

Les primitives sont définies sur ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[, k\in\mathbb{Z} par :
F(y) = y - \frac{sin y}{1 + cos y}+cste(k)

(4) catouou2, peut-être restes-tu sur ta faim car tu indiques qu'on "doit" faire une IPP pour résoudre l'exercice ? A nouveau, je ne comprends pas bien le sens de ce "doit".
Néanmoins, si tu veux absolument une IPP, voici une solution possible...
On rappelle que cos^2 y = \frac{1+cos 2y}{2}
\int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = \int 1-\frac{1}{1 + cos y}dy
= x - \int \frac{1}{1 + cos y}dy + cste(k)
= x - \int \frac{1}{2.cos^2 \frac{y}{2}}dy + cste(k)
= x - \int \frac{cos^2 \frac{y}{2}+sin^2 \frac{y}{2}}{2.cos^2 \frac{y}{2}}dy + cste(k)
= x - \int \frac{1}{2}dy + \int \frac{1}{2} \frac{sin^2 \frac{y}{2}}{cos^2 \frac{y}{2}}dy + cste(k)
= \frac{x}{2} - \int sin{\frac{y}{2}} \frac{-\frac{1}{2} sin{\frac{y}{2}}}{cos^2 \frac{y}{2}} dy + cste(k)
On fait une IPP en dérivant sin{\frac{y}{2}} et en intégrant \frac{-\frac{1}{2} sin{\frac{y}{2}}}{cos^2 \frac{y}{2}}
= \frac{x}{2} - [\frac{sin{\frac{y}{2}}}{cos{\frac{y}{2}}}] + \int \frac{1}{2} cos{\frac{y}{2}} \frac{1}{cos{\frac{y}{2}}} dy + cste(k)
= \frac{x}{2} - tan{\frac{x}{2}} + \int\frac{1}{2}dy + cste(k)
= x - tan{\frac{x}{2}} + cste(k)
Or tan{\frac{x}{2}} = \frac{sin{\frac{x}{2}}}{cos{\frac{x}{2}}} = \frac{2 sin{\frac{x}{2}} cos{\frac{x}{2}}}{2 cos^2{\frac{x}{2}}} = \frac{sin x}{1 + cos x}
Donc \int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = x - \frac{sin x}{1 + cos x} + cste(k)

(5) Bien sûr, tout ce que j'ai écrit en (4) est faux, car je n'ai pas pris garde aux domaines de définition. En particulier, je ne peux pas passer de y à \frac{y}{2} n'importe où. Par exemple, si on est sur ]\pi; 3\pi[, \frac{y}{2} nous fait quitter cet intervalle.

Pour s'en sortir, commençons en se restreignant à [-\pi; \pi] où le passage à \frac{y}{2} est valable :
Sur [-\pi; \pi] :
\int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = ... (calcul ci-dessus) ... = x - \frac{sin x}{1 + cos x} + cste
Notons F(x) = x - \frac{sin x}{1 + cos x} sur [-\pi; \pi]

Sur ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[, k\in\mathbb{Z}, comme la fonction dont on cherche la primitive est de période 2\pi, on a :
\int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = F(x-2k\pi)+cste(k)
Or F est périodique de période 2\pi
Donc \int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = F(x) + cste(k)
Et \int \frac{cos y}{1 + cos y}dy = x - \frac{sin x}{1 + cos x} + cste(k) sur ](2k-1)\pi; (2k+1)\pi[, k\in\mathbb{Z}
On retombe sur nos pattes, mais plus rigoureusement.

J'espère ne pas avoir fait trop d'erreurs...

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème d intrègrale(primitive) 01-08-05 à 11:30

J'ai au moins fait une erreur... de LaTeX :
les [-\pi;\pi] du (5) sont évidemment à remplacer par ]-\pi;\pi[

Nicolas


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