Voila le principe de la méthode par substitution :
- tu remplaces x3 par son équivalent en x2, et x4 par son équivalent en x1
- tu aboutis donc à une forme quadratique
z=ax1^2+bx1+cy1^2+dy1+e
un changement de variables x'1=x1+h, x'2=x2+k doit te permettre, en choisissant bien h et k, d'éliminer les termes de degré 1, donc tu auras quelque chose en
z=Ax'1^2+By'1^2+C
C'est une quadrique, et avec un peu de chance A et B seront tous deux négatifs donc ce sera un paraboloide qui passera par un extremum en x'1=y'1=0, d'ou tu remonteras à x et y.

Maintenant il faut que je révise Lagrange

Pour le remplacement de x3 par son équivalent en x2 et x4 par son équivalent en x1, j'ai pas trop compris...

x3-x2=2, tu remplaces x3 par x2+2, etc...

Pour la forme quadratique, avec la méthode par substitution, je n'arrive pas au même résultat que toi :

- substitution :

x3 = x2 + 2 et x4 = 4x1 + 1

On a donc :

z = x1 - 4x1^2 - 3x2^2 - 3(x2 + 2)^2 + 2(x2 + 2) + (4x1 + 1)
z = x1 - 4x1^2 - 3x2^2 - 3(x2^2 + 4x2 + 4) + 2x2 + 4 + 4x1 + 1
z = x1 - 4x1^2 - 3x2^2 - 3x2^2 - 12x2 - 12 + 2x2 + 4x1 + 5
z = - 4x1^2 - 6x2^2 + 5x1 - 10x2 - 7

Est-ce normal ?

Je ne vérifie pas le calcul mais c'est bien la bonne forme semblable à celle que je t'avais annoncée. Maintenant il te reste à faire les changements de variable de x1 et x2 par translation pour faire disparaitre les termes du premier degré, et on en reparlera. Courage !  

Je n'ai pas compris ce que tu entendais par "changement de variable par translation"...

j'en suis arrivé là :

G = - 4x1^2 - 6x2^2 + 5x1 - 10x2 - 7

\deltaenvers G <=> dG/x1 = 5-8x1 = 0
       dG/x2 = 10 - 12x2 = 0

point critique : 5-8x1* = 0  <=> x1* = 5/8
                -10-12x2* = 0 <=> x2* = -5/6

hessien : H = -8 0  < 0  => (5/8 ; -5/6) est un max
              -12 0  

On déduit des contraintes les valeurs de x3* et x4* :

x3* = -5/6 + 2 = 7/6
x4* = 4*(5/8) + 1 = 7/2

réponse :

x1* = 5/8
x2* = -5/6      est le point maximal.
x3* = 7/6
x4* = 7/2


- multiplicateurs de Lagrange :

L(x1,x2,x3,x4,l1,l2) = x1 - 4x1^2 - 3x2^2 - 3x3^2 + 2x3 + x4 + l1(x3-x2-2) + l2(x4-4x1-1)

points critiques de L : \deltaenvers L = 0


dL/dx1 = 1 -8x1 - 4l2 = 0  =>  
dL/dx2 = - 6x2 -l1 = 0  =>
dL/dx3 = -6x3 +2 + l1 = 0  =>
dl/dx4 = 1 + l2 = 0  => l2 = -1


mais maintenant, je suis bloqué à nouveau...

C'est un changement de variable de la forme
x1=x'1 + h
x2=x'2 + k

Et tu dois choisir h et k pour qu'il n'y ait plus de terme de premier degré en x'1 et x'2