Niveau Reprise d'études

Problème d'optimisation - Bac +2 - Sciences économiques

Posté par
ManoaUnDemi 26-11-17 à 14:08

Bonjour,

Je bloque sur le problème qui suit :

Il s'agit de la fin d'une course lors de laquelle il ne reste plus que deux segments disposés à angle droit l'un par rapport à l'autre à parcourir.

(voir schéma en attache pour plus de précision.)

Le segment AB a une longueur de 1 km, tandis que le segment BC a une longueur de 0,75 km. Le point d'arrivé est situé en C.

L'idée est que les coureurs peuvent sortir de la piste pour atteindre le plus vite possible le point C mais , ce faisant, leur vitesse sera réduite de 25 %.

La question est de déterminer à quel point du segment AB, le coureur doit quitter la piste pour minimiser son temps et ainsi gagner la course.

Mon raisonnement est le suivant :

$|MC|² = y² + 0,75² \rightarrow |MC| = \sqrt{y² + 0,75²}$

or,

$x + y = 1 \rightarrow y = 1-x$

ainsi,

$|MC| = \sqrt{(1-x)² + 0,75²}$

Pour gagner, le coureur doit minimiser sont temps donc la fonction à optimiser est la suivante :

$t(x) = \sqrt{(1-x)² + 0,75²}*0,75v$

Sa dérivée étant :

$t'(x) = \frac{2(1-x)}{2\sqrt{(1-x)² + 0,75²}}*0,75v$ = $t'(x) = \frac{(1-x)}{\sqrt{(1-x)² + 0,75²}}*0,75v$

La vitesse étant une constante car elle n'a pas été décrite dans l'énoncé comme un paramètre selon lequel l'on devait exprimer notre fonction.

Le problème une fois arrivé à ce point est que je ne sais vraiment plus quoi faire de la vitesse et que la réponse du solutionnaire n'est pas exprimée selon le paramètre v.

Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair s'il vous plaît ?

Je vous remercie

$Problème d\'optimisation - Bac +2 - Sciences économiques$

Posté par re : Problème d'optimisation - Bac +2 - Sciences économiques 26-11-17 à 17:20

Salut,

En sortant du segment il doit rejoindre directement le point C où il peut rejoindre un point quelconque du segment BC ?

Vu ce que tu écris, il doit aller directement en C.

La fonction à optimiser n'est pas tout à fait celle-ci, il te manque la portion à x à la vitesse v !
Tu regardes alors où la fonction est minimale, en regardant où la dérivée s'annule. La vitesse v étant constante, tu obtiendras une expression indépendante de la vitesse v.

Posté par re : Problème d'optimisation - Bac +2 - Sciences économiques 26-11-17 à 17:27

Bonjour,

Attention, étourderie, le temps de parcours est égal à $\dfrac{d}{v}$ , si d est la distance parcourue et v la vitesse supposée constante.

Ici on va avoir

$t=\dfrac{x}{v}+\dfrac{\sqrt{(1-x)^2 + 0,75^2}}{0,75v}$

il faut donc trouver la valeur de x pour laquelle $vt=x+\dfrac{\sqrt{(1-x)^2 + 0,75^2}}{0,75}$

est minimum