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Problème de détermination des bornes (sphères)

Posté par Speedy (invité) 21-08-05 à 17:20

Salut,voici l'énoncé...
Dans R^3 la portion de sphère
x^2+y^2+z^2=R^2 telle que x0,y0,z0
On demande de calculer la surface de cette portion de sphère

Mon problème dans ce genre d'énoncé, c'est que je n'arrive pas à trouver les bornes d'intégration... Comment dois je faire?

Cette question est posée dans le cadre des intégrales de surface, on doit donc utiliser les formules qui utilise les dérivées partielles et tout ça quoi... Si vous voulez plus d'explication sur ce sujet je peux vous en donner, mais pas trop quand même, je usis pas un petit geni...

Merci d'avance...
speedy

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 17:24

Je vais peut-être dire une bêtise : la surface cherchée n'est-elle pas égale à 1/8ème de la surface totale de la sphère 4piR^2 ?

Cela n'enlève en rien la question de Speedy sur les bornes.

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 19:38

Les bornes sont données lorsque tu dis que
x²+y²+z²=R² et x,y,z tous positifs.

Qu'est ce qui te gène?

Posté par jmix90 (invité)hum hum 21-08-05 à 21:10

Bonjour,

Quelqu'un pourrait m'expliquer comment ca marche ces calculs de surface ou me donner un document? Parceque je ne me rappelle pas avoir fait ca cette année au moment des dérivés partielles....

Merci par avance

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 21:15

Tu as plusieurs façon de procéder.
Notamment par définition, l'aire d'un ensemble A (plutôt sa mesure) est définie par
\int_A d\lambda
Je pense qu'ici il est question du théorème de Stokes qui dit grosso modo que
\int_A d\nu =\int_{\partial A} \nu
mais pour celà il faut que A "se comporte bien", ce qui arrive "souvent" en exercice(s).
A+

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 21:28

Ps: et ici A se comporte bien justement (variété compacte à bord)

Posté par jmix90 (invité)re : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 21:34

C'est du programme de math spé ?

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 21:41

C'est même du programme de sup, mais sous une forme moins générale.

Posté par jmix90 (invité)re : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 21:48

Non, pasque je comprends pas trop ce que tu m'as mit !!

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 22:14

Tu dois savoir que:
\int_A div(u)=\int_{\partial A} <u|n>
non?
C'est une version allégée du théorème de Stokes que je cite.
Ici on doit pouvoir l'utiliser comme demandé, sauf erreur(s).
A+

Posté par jmix90 (invité)re : Problème de détermination des bornes (sphères) 21-08-05 à 22:37

Bah, en fait, si je suis sans savoir !

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 22-08-05 à 09:10

Bizarre que tu ne le connaisse pas, en sup on le voit en maths et en physique.
Ici il est clair que la boule B rentre dans les hypothèses d'utilisation du théorème (on ne rentre pas trop dans les détails, notamment B est une variété compacte orientée et à bord).
On peut donc appliquer le théorème de Stokes à B (pas encore à A la partie qui nous intéresse).
On a alors
\int_{B}dw=\int_{S}xdydz-ydxdz+zdxdy
et par des considérations évidentes de symétries, on a que
\int_{B}dw=\int_{S}xdydz-ydxdz+zdxdy=\frac{1}{8}\int_{A}dw
sauf erreur(s)
mais je ne trouve pas que ça simplifie grandement les choses.
Est ce qui est demandé?
Le résultat est déjà fourni par Nicolas_75.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Problème de détermination des bornes (sphères) 22-08-05 à 09:31

On peut aussi considérer l'aire engendrée par la rotation de 1/4 de tour autour de l'axe des z du 1/4 de cercle y = \sqrt{R^2-z^2} pour z dans [0 ; R]

f(z) = \sqrt{R^2-z^2}
f'(z) = \frac{-z}{\sqrt{R^2-z^2}}

Aire\ =\ \frac{\pi}{2}.\int_0^R f(z).\sqrt{1+f'^2(z)}\ dz

Aire\ =\ \frac{\pi}{2}.\int_0^R \sqrt{R^2-z^2}.\sqrt{1+\frac{z^2}{R^2-z^2}}\ dz

Aire\ =\ \frac{\pi}{2}.\int_0^R \sqrt{R^2-z^2}.\sqrt{\frac{R^2-z^2+z^2}{R^2-z^2}}\ dz

Aire\ =\ \frac{\pi}{2}.\int_0^R R\ dz

Aire\ =\ \frac{\pi.R}{2}.[z]_0^R

Aire\ =\ \frac{\pi.R^2}{2}

-----

Posté par
ottore : Problème de détermination des bornes (sphères) 22-08-05 à 09:36

J'ai écrit une bétise dans ma démo, là je trouve le volume de la boule, et ce n'est pas ce qui est demandé, et de plus je faisais une erreur de coeff 8 mal placé (au lieu de multiplier par 8 je divise par 8)
J'ajouterai que la méthode de JP est celle que j'aurai utilisé sans indication et que c'est la plus naturelle.

J'essaierai de revenir sur ce que j'ai écris si j'ai plus de temps.


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