Bonjour Rouliane,

dans la deuxieme definition le alpha  depend seulement de epsilon alors que oui dans le premier ton alpha depend aussi de x0 si t'as deux points x1 et x2 differents et que tu te fixes un epsilon ca sera pas le meme alpha.

Dans le premier tu te fixes un point et tu cherches un voisinage de x0 tel que la difference des images soit petite alors que dans la deuxieme deux points suffisamment proches ont des images proches.

Ah merci, je vois mieux maintenant.

Une autre petite question : J'arrive pas à montrer que si f est k-Lipschitzienne, alors f est uniformément continue.

Si on suppose que f est k-Lipschitzienne alors, pour tout couple (x;y) , on a
mais je n'arrive pas à prouver que |x-y|< pour pouvoir conclure sur la continuité uniforme. ( et on choisira =k, c'est ça ? )
Je vois bien que ça doit etre tout bête, mais je trouve pas

merci d'avance,

Rouliane

je viens de trouver, il suffit de prendre alpha = epsilon/k , c'est ça ?

( Je fonctionnais dnas le sens inverse )

Oui ca semble fonctionner

J'ai toujours du mal avec ces définitions, entre ce qu'on choisit etc ...

Tiens tu peux essayer pour t'entrainer la-dessus a chercher :

une fonction uniformement continue non lipschitzienne
une fonction continue non uniformement continue ( ca sera deja pas sur un segment).

Merci, je vais chercher ça !

C'est "Si une fonction est continue sur un intervalle, alors elle n'est pas Lipschitzienne " ?

Je cherche ça dans la soirée, mais je garantie rien

Juste un p'tit truc :  la négation de k-Lipchitzienne, c'est bien " Il existe (x;y) tel que "

Bonsoir Rouliane

Cauchy semble déconnecté !

Citation :
la négation de k-Lipchitzienne, c'est bien " Il existe (x;y) tel que "

Merci de ta réponse, Kaiser !

Je voulais dire "Si une fonction est uniformément continue sur un intervalle, alors elle n'est pas Lipschitzienne " ...

C'était juste pour écrire avec des 'Si' et 'Alors' sinon on pourrait croire à une équivalence.

Allez, je me lance, mais y'a pas grand chose qui en sort

Rouliane

Bonsoir kaiser ,

tiens tu peux me dire comment on fait pour faire une citation?

Rouliane une fonction continue est toujours uniformement continue sur un intervalle. Et sinon ta phrase je comprend pas trop on a lipschtizienne implique uniformement continue mais pas le contraire c'est pas pour ca que :

"Si une fonction est uniformément continue sur un intervalle, alors elle n'est pas Lipschitzienne ".

je ne comprends pas pourquoi une fonction continue serait toujours uniformément continue ?

J'ai bien dit sur un intervalle, plus generalement dans un espace metrique une fonction continue sur un compact y est uniformement continue c'est le theoreme de Heine.

d'accord, merci

cauchy> Pour faire une citation, il suffit de cliquer sur le petite bouton situer en bas de la fenêtre où tu écrit ton texte (le bouton qui se trouve à gauche du bouton pour le )

Pour la citation, tu cliques sur le bouton --> qui fait apparaitre les balise [quote ][ /quote] ( sans les espaces et tu insères ton texte..

Reponses synchro merci c'est nouveau j'avais pas vu.

Pour l'exemple d'une fonction continue et non lipschitzienne, mieux vaut prendre l'exemple d'une fonction dérivable dont la dérivée est non bornée.

Ca marche pour la fonction définie sur ]0;+[ par f(x)=ln(x+1), non ?

Ben non, puisque sa dérivée est bornée par 1, donc elle est lipschitzienne (inégalité des accroissement finis).

Bonsoir Rouliane,

je me permets d'intervenir dans cette discussion pour dire que si tu cherches une fct f non lipschitzienne (et pas seulement non k-lipschitziene pour un k particulier), f ne doit être k-lipschitzienne pour AUCUN k, ce qui signifie:

Quel que soit k, il existe x et y tels que |f(x) - f(y)| > k|x - y|

Bonne recherche!
Tigweg

Dans ce cas, il me semble bien que ça marche.
D'ailleurs, je pense que c'est une équivalence. Si je ne dis pas de bêtise, si f est une fonction dérivable, alors f est lipschitzienne si et seulement si f' n'est pas bornée.

pardon, je voulais dire :

si f est une fonction dérivable, alors f est lipschitzienne si et seulement si f' est bornée.

Kaiser je pense que tu ne dis pas de betise (un sens accroissements finis la reciproque on fait tendre y vers x dans l'inegalite) sinon oui ca marche(continue et non lipschitzienne) mais je ne crois pas qu'on est l'uniforme continuite si je dis pas de betise.

En fait tu as dis une betise et j'ai compris l'inverse

Merci Kaiser .

J'essaye de montrer le sens direct, mais j'y arrive pas ...
J'utilise le TAF, mais ça ne me donne que le cas pour un point... ( il existe c tel que ... )

L'inegalite des AF...

L'inégalité, c'est pour montrer la réciproque plutot, non ?

Rouliane mettons nous d'accord quel sens appelles tu le sens direct?

le sens direct c'est ce sens là : pour moi

Ok donc f lipchitzienne implique f' bornée.

Je te propose d'ecrire -k<f(x)-f(y)/x-y<k.

C'est la le souci justement, avec le TAF, je pourrais dire qu'il existe t dans ]x;y[ tel que f'(t)=[f(x)-f(y)]/(x-y), mais je n'aurais pas la condition pour tout t

L'inegalite etant vraie pour tous x,y. Tu fixes x et tu fais tendre y vers x cela montrera que f' est bornee pour tout x de ton intervalle.

Pour ce sens, on n'utilise pas le TAF mais simplement, on montre que la dérivée de f est bornée en faisant tendre y vers x.

Encore en retard !

Ah d'accord, on utilise simplement le fait que la fonction est dérivable en x donc ?

En tout cas merci beaucoup à vous, ça doit vous paraitre simple, mais j'apprends et comprends plein de chose ce soir

J'ai laissé le match en fond ( j'ai canal, mais je vais arreter, c'est une escroquerie), et je te rassure, tas rien loupé, presque aussi nul que le match des bleus

Oui but a la derniere minute pour les suedois quand meme,aussi nul que suede trinite et tobago?

J'ai confiance aux bleus(je suis le seul lol) la defense est nickel il reste plus qu'a mettre le feu

Pour prouver que f n'est pas uniformément continue, il faut prouver que
.
Prenons par exemple , considérons quelconque et aussi x quelconque et posons .
En faisant tendre x vers -1, la quantité tend vers et donc il existe un x tel que , ce qui montre le résultat.

Kaiser

kaiser tu montrais ce que j'avais intuite sur l'exemple de Rouliane?

Oui, c'est bien ça !