Il y a 2 parties principales:
1ere partie:
Pour tout nbre complexe z, on considère
f(z)= z(^4)-10z(^3)-90z+ 261

a) Soit b un nbre réel. Exprimer en fonction de b les partie réelle
et imaginaires purs de f(ib).En d"duire que l'équation f(z)=0
admet 2 nombres imaginaire purs
comme solution.

b) Montrer qu'il existe 2 nbres réel alfa et beta, que l'on
determinera tel que, pour tout nombre complexe z:
f(z)= (z(^2)+9) (z(^2)+(alfa)z+béta)

c) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
f(z)=0

2) Le plan du complexe P est rapporté à un repère orthonormal.

a) Placer dans le plan les points A, B,C et D ayant respectivement pour
affixe:
a= 3i, b=-3i, c= 5+2i et d= 5-2i

b) determiner l'affixe de l'isobarycentre des points G des
points A, B, C, et D

c) déterminer l'ensemble E des points M de P tel que:
//MA(vecteur MA)+MB+MC+MD//=10 ( les // veulent dire norme)
Tracer E sur la figure précédente

Partie 2

On considère l'application f qui, à tout nombre complexe z different
de 1, associe le nombre complexe f(z)=(2-iz)/(diviser par) (1-z)
.
L'exercice étudie quelque propriétés de f.
Le plan est rapporter à un repère orthonormal direct (O, u, v) d'unité
gravique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvé
au question 1) et 2).
A est l'affixe 1 et B celui d'affixe -2i

1) On pose z= x=iy avec x et y réels.
Ecrire f(z) sous forme algébrique. En déduire l'ensemble des points
M d'affixe z tel que f(z) soit réel et representer cet ensemble.

2)  On pose f(z)= z'

a) vérifier que i n'a pas d'antécédent par f et exprimer,
pour z' different de i, z en fonction de z'.

b) M est le point d'affixe z (z different de 1) et M' celui
d'affixe z' (z' différent de i).
Montrer que OM= M'c diviser par M'D où C et D sont les points d'affixe
respectif 2 et i.

c) Montrer que, lorque le point M décrit le cercle de centre O et de
rayon 1 privée du point A, son image M' appartient à une droite
fixe que l'on définira graphiquement.

d) Montrer que si M est un point de l'axe réel, different de O
et de A, alors M' appartient à la droite (CD).

Voilà c'est tout
Les partie 1 et 2 sont indépendentes  et je me suis arrêter à la partie
1 question 1 c)