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problème de maximisation

Posté par
mimil75 08-07-11 à 23:02

Bonjour à tous,

Dans une épreuve de concours on demande de trouver ce qui maximise la fonction de Cobb-Douglas suivante :

(ce) = (1 - )V

où (ce)=L-Lce

et V(ce)=L ln ce + (N-L)ln cM

et L=(/ce)1/1 -

N et cM sont fixes

J'avoue que même en passant au logarithme, le calcul de la dérivée (et donc la résolution de l'équation "dérivée de = 0") devient imbittable. Quelqu'un aurait-il une piste pour simplifier ces calculs et arriver à la solution ?

PS : Je laisse la réf. du sujet au cas où
http://www.en3s.fr/IMG/pdf/Annexe_2_Sujet_complet_de_l_epreuve_de_Mathematiques.pdf

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 09-07-11 à 13:16

Bonjour,


bon les copains, vous n'avez vraiment aucun avis ? Moi je sèche vraiment vraiment.

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 09-07-11 à 20:23

Vraiment aucune idée messieurs mesdames ?

Posté par
DOMOREAproblème de maximisation 10-07-11 à 17:11

Bonjour,
En effet même si le calcul est élémentaire, il n'est guère agréable.
Je te donnes les grandes lignes et le résultat (que j'espère sans faute)
Je pose c_e=x
L(x)=(\frac{\alpha}{x})^{\frac{1}{1-\alpha}
on peut remarquer que \pi'(x)=-L(x)
V'(x)=\frac{\alpha^\frac{1}{1-\alpha}}{1-\alpha}x^{\frac{\alpha-2}{1-\alpha}}(1-\alpha+Ln(c_m)-Ln(x))
\phi '(x)=\pi^{-\alpha}(x)V^{\gamma-1}(x)[(1-\gamma)\pi'(x)V(x)+\gamma \pi(x)V'(x)]
après un calcul assez long on trouve:
\phi'(x)=\alpha^{\frac{2}{1-\alpha}}x^{-\frac{2}{1-\alpha}}\pi^{-\alpha}(x)V^{\gamma-1}(x)[aLn(x)+bx^{-\frac{2}{1-\alpha}}+c]
Avec a=\frac{\gamma(\alpha-1)}{\alpha}
b=(\gamma-1)Nln(c_m)
c=\frac{\alpha(1-\gamma)Ln(c_m)+\gamma(1-\alpha)(1-\alpha+Ln(c_m))}{\alpha}
On a b<0,a<0 et c>0
\phi'(x)=0\Longrightarrow aLn(x)+bx^{-\frac{2}{1-\alpha}}+c=0

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 10-07-11 à 18:11

Bonjour DOMOREA,

et un grand merci je me sens un peu moins seul avec l'exercice.

Je dois t'avouer que j'ai réduit comme toi (mais avec sûrement un peu plus de difficultés) l'expression à une forme à peu près identique à la tienne (contenant un ln et une puissance de x).

La question que je me pose maintenant c'est comment isoler et calculer x à partir de cette expression ?

  

Posté par
DOMOREAproblème de maximisation 10-07-11 à 20:37

Bonsoir,
On ne peut isoler x dans ce type d'équation, il faut une résolution analytique.

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 10-07-11 à 21:38

Bonsoir,
C'est ce qu'il me semblait.
Pourtant c'est très bizarre car cela voudrait dire qu'il y a une erreur grossière dans le concours ?
J'ai refait pourtant mes calculs plusieurs fois (avec au moins 3-4 astuces de calcul comme le fait de passer au logarithme et d'exprimer toutes les dérivées en fonction de L, merci la question et j'arrive toujours à ce type d'équation.
Moi je trouve :
(1-)K(x/)1/1- + ((1-) + )ln x = (1-)+ ((1-) + )ln cM

avec K=Nln cM

Posté par
DOMOREAproblème de maximisation 11-07-11 à 07:51

Bonjour,
j'ai peut-être factorisé  en plus par \alpha
Vérifie si nos coefficients du facteur entre crochets  sont proportionnels ou non.
Moi aussi j'ai vérifié plusieurs fois, je pense que c'est juste.

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 11-07-11 à 11:21

Bonjour Domorea,

OK je vais vérifier car effectivement moi j'ai une puissance de x/.

Posté par
mimil75re : problème de maximisation 11-07-11 à 13:28

Par contre ma puissance de x est différente de la tienne.

Je regarde chez moi. Peut-être que les calculs se simplifiront finalement (je n'y crois pas trop).

Ne crois-tu pas qu'il y ait vraiment un pb dans l'enoncé ?


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