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Niveau maths spé
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Problème de non-équivalence de normes

Posté par
Ea1
28-04-18 à 23:34

Bonne soirée à toutes et à tous,

Soit  I_{\infty} (\mathbb{R})^{\mathbb{N}    \exists M \in \mathbb{R}_{+} , \forall n \in \mathbb{N}  , |U_n| \le M  }  l'espace   des   suites   bornées.

On  définit  aussi:  E = {(U_n \in I_{\infty}(\mathbb{R}) / U_0 = 0

Pour U \in I_{\infty}(\mathbb{R}) , on   note:  N_{\infty}(U) = \underset{n\in \mathbb{N}}{sup} |U_n|  et  pour  U \ E:  N(U) =\underset{n in \mathbb{N}}{sup} U_{n+1} - U_n|

On  veut  montrer  que  N_{\infty} et N  ne  sont  pas  équivalentes.

Pour ce faire, on procède à la démo de la formule:  \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R_{+}^{*}}  tq:  \beta . N \le N_{\infty}\le\alpha . N

J'ai  montré  que  N \le 2N_{\infty}  ,  il  faut  parsuite  prouver  l'existence  de  \alpha  tq:  N_{\infty} \le  \ alpha.N

Je sollicite votre aide pour trouver la deuxième inégalité,

Merci infiniment .

Posté par
Ea1
re : Problème de non-équivalence de normes 28-04-18 à 23:42

***citation inutile supprimée***ne pas écrire les phrases en Ltx***merci

Posté par
jsvdb
re : Problème de non-équivalence de normes 28-04-18 à 23:48

Bonsoir Ea1

Ea1 @ 28-04-2018 à 23:42

On  veut  montrer  que  N_{\infty} et N  ne  sont  pas  équivalentes.

Pour ce faire, on procède à la démo de la formule:  \blue \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R_{+}^{*}}  tq:  \beta . N \le N_{\infty}\le \alpha.N


Il faudrait savoir, tu veux montrer qu'elles sont équivalentes ou pas ? parce que ce qui est en bleu contredit ce qui est en rouge

Posté par
Ea1
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 01:03

Bonsoir,

je  veux  prouver  qu'il  n'existe  pas  \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*}   tq: N_{\infty} \le \alpha N

Je  suppose  donc   que  \alpha   existe  pour  arriver  à  une  \color{red}{contradiction}.

Je  ne  pense  pas  avoir  été  assez  clair  dans  mon  premier  post. Excusez moi.  

Posté par
jsvdb
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 01:36

Il y a un soucis d'énoncé : N et N_\infty ne sont pas définies sur les mêmes espaces. Ça va être compliqué de les comparer.

Bon supposons que l'on vire l'espace E qui ne sert à rien ici.

Que penses tu de la suite de suites  \mathfrak U : \N \rightarrow I_\infty;~\mathfrak U_n = (v_i)_i(v_i)_i est la suite définie par \forall i \in \N,~v_i = n ?

Posté par
Ea1
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 01:58

On compare N_\infty et N sur l'espace E.

jsvdb @ 29-04-2018 à 01:36


Que penses tu de la suite de suites  \mathfrak U : \N \rightarrow I_\infty;~\mathfrak U_n = (v_i)_i(v_i)_i est la suite définie par \forall i \in \N,~v_i = n ?


\mathfrak U_n\inE  et  N_\infty (\mathfrak U ) = n   et  dont  N = 1  et  alors  N_\infty \ge N  là  le  \alpha  ne  pourrait   pas   exister.

Mais ce n'est qu'un cas paeticulier,  peut-t-on géneraliser pour contredire ce qu'on a supposé?

Merci!

Posté par
carpediem
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 08:25

salut

c'est dingue de ne pas savoir écrire des math simplement ... et compréhensible ensuite d'éprouver des difficultés en math ...

et utiliser des symboles kabbalistiques ... chiant à taper ... que c'est pénible ...

l'énoncé tient en trois lignes:

Citation :
soit E l'ensemble des suites bornées muni de la norme infinie Noo
on définit sur E la norme N par :  \forall u = (u_n) \in E  :  N(u) = Sup_{n \in \N}  |u_{n + 1} - u_n|

montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes


épictou !!

je ne vois pas ce que viens faire ce u_0 = 0
on admet évidemment que N est une norme

...

Posté par
jsvdb
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 09:28

Salut carpi.
Effectivement, on travaille sur E.
Le u_0 = 0 est indispensable sinon N n'est qu'une semi-norme sur E : N(u) = 0 entraînerait seulement que u est constante.

Du coup, il faut choisir la suite \mathcal U_n de suites suivante définie pour tout n entier par :

\mathcal U_n(0) = 0

\mathcal U_n(1) = 1/n

... \mathcal U_n(j) = j/n, \forall j \in \{0;\cdots;n\}

\mathcal U_n(n) = 1

\mathcal U_n(n+k) = 1 \text{ pour tout } k > 0

N(U_n) tend vers 0 tandis que N_\infty(\mathcal U_n) = 1

Posté par
carpediem
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 09:39

ok merci pour le coup du u_0 = 0 ... afin que N soit une norme

donc directement poser alors : soit E l'ensemble des suites bornées et de premier terme u_0 nul ...

Posté par
Ea1
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 12:46

Et alors, comment prouver la non-existence de \alpha?

Merci.

Posté par
luzak
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 16:18

Pour l'exemple fourni par jsvdb, fais le quotient des normes et envisage la limite....

Posté par
Ea1
re : Problème de non-équivalence de normes 29-04-18 à 22:11

luzak @ 29-04-2018 à 16:18

Pour l'exemple fourni par jsvdb, fais le quotient des normes et envisage la limite....


Comment?

Posté par
luzak
re : Problème de non-équivalence de normes 30-04-18 à 08:39

Ben tu calcules  \dfrac{N_{\infty}(\mathcal U_n)}{N( \mathcal U_n)} et tu cherches la limite, ce qui te permet de montrer qu'il est impossible de trouver un majorant.



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