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Problème de pile et face !

Posté par
jolymily 03-04-08 à 17:34

Voilà j'ai un exercice de probabilité que je n'arrive pas à résoudre, quelqu'un pourrait-il m'aider?

énoncé :

Un joueur joue à pile ou face avec la règle suivante :
     - il gagne dès que pile apparait deux fois consécutivement ;
     - il perd dès que face apparait deux fois consécutivement.
La partie s'interrompt dès que l'un des deux cas précédents se produit.
La probabilité d'obtenir pile est p (0<p<1) et face q=1-p

1°) Etant donné nN\{0}, calculer la probabilité que la partie comporte au moins 2n lancers ?
2°) a) Etant donné nN\{0}, quelle est la probabilité que le joueur gagne au 2n-ième lancer ?
    b) Calculer la probabilité que le joueur pgagne?
3°) Calculer la probabilité que le joueur perde?
4°) Calculer la probabilité que la partie dure indéfiniment ?

Voilà.
Merci beaucoup.

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 15:12

Quelqu'un peut-il m'aider?
Svp.
Merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 15:39

Bonjour ?

1)
Les quatre seules séries possibles sont :
P F P F P ... F P F... et la partie continue
F P F P F ....P F P... et la partie continue
P F P F P ... F P P... et il gagne
F P F P F ....P F F... et il perd

Quelle est la probabilité associée ?

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 16:15

P= pn/2 q(n+1)/2
ou
P= qn/2 p(n+1)/2

car les lancers sont indépendants.

est-ce bien ceici? Mais du coup j'ai deux résultats !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 16:25

La probabilité cherchée est la somme de :
P( P F P F P ... F P F )
P( F P F P F ....P F P )
P( P F P F P ... F P P )
P( F P F P F ....P F F )
Que vaut-elle ?

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:15

si je comprends bien, on a :
soient les événements Pi:"on obtient pile au ième lancers" et Fi :"on obtient face au ième lancers"
et G:"la partie comporte 2n lancers"

Dc G=(P1F1P2F2....Fn-2Pn-1Fn)U(F1P1F2P2....Pn-2Fn-1Pn)U(P1F1P2F2....Fn-2Pn-1Pn)U(F1P1F2P2....Pn-2Fn-1Fn)

Or comme comme les événements considérés sont 2 à 2 incompatibles on a :
P(G)= P(P1...Fn)+P(F1...Pn)+P(P1....Pn-1Pn)+P(F1....Fn-1Fn)
    = pn/2 qn/2 + Pn/2 qn/2 + p(n+1)/2 qn/2 + pn/2 q(n+1)/2
    = pn/2 qn/2 (q1/2 + p1/2 + 2)

Est-ce ça ? ceci me parait bizarre.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:19

Quel est ton univers ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:26

Et pourquoi tes n/2
On partait de 2n, non ?

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:31

mon univers est l'ensemble des possibilités c'est à dire pile ou face donc = [1,n] car il s'agit d'une serie de lancers.

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:34

a oui c'est vrai dc : P(G) = (pn qn )(qn + pn + 2)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:34

Je ne comprends pas bien.
L'univers devrait être un ensemble d'évènements élémentaires (ou éventualités), pas des nombres.
De toute façon, on parle de 2n lancers.
Commence par définir correctement l'univers.

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 17:56

univers = {pile,face}

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 18:08

Selon moi, on peut prendre pour univers dans la question 1 l'ensemble des séquences possibles de 2n lancers :
P P .... P P
P P .... P F
P P .... F F
......
F F .... F F
Il y a 2^(2n) évènement élémentaires (ou éventualités) dans cet univers.
Elles ne sont pas équiprobables.

Ensuite on enchaîne avec ton raisonnement de 17h15.

Et on trouve
P = 2p^nq^n + p^{n+1}q^{n-1}+p^{n-1}q^{n+1}=p^{n-1}q^{n-1}(p^2+2pq+q^2)=p^{n-1}q^{n-1}(p+q)^2=p^{n-1}q^{n-1}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 21:20

d'accord j'ai compris.
Pour la 2ème question on fait de même maison prend pour univers l'ensemble des séquences possibles de 2n lancers tel que seul le dernier lancer amène à deux faces ou deux piles consecutifs consécutif, soit:
PF P .... PF P
P FP .... P FF
ou PFP...FPF....FPP

Il y a 2^(2n-1) évènement élémentaires (ou éventualités) dans cet univers.
et on procède comme précédemment.

est-ce bien ça ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 21:31

2.a. Tu confonds ensembles des cas possibles (l'univers) et ensembles des cas favorables.
Dans ton exemple, tu prends même si l'un ni l'autre.

Pour moi, l'univers reste le même.

Mais le seul évènement qui nous intéresse est :
P F P F P ... P F P P
de probabilité p^{n+1}q^{n-1}

Sauf erreur.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 05-04-08 à 21:54

2.b.

On a calculé ci-dessus la probabilité \mathbb{P}_{2n} que le joueur gagne au 2n-ième lancer :
3$\mathbb{P}_{2n}=p^{n+1}q^{n-1}

Quelle est la probabilité qu'il gagne au bout de 2n+1 lancers ?
Cela correspond à la séquence
F P ... F P F P P où le gras recouvre 2n lancers
3$\mathbb{P}_{2n+1}=p^{n+1}q^{n}

La probabilité que le joueur gagne est :
3$\mathbb{P}(GAGNE)=\Bigsum_{n\ge 2}\mathbb{P}_{n}
3$\mathbb{P}(GAGNE)=\Bigsum_{n\ge 1}\left(\mathbb{P}_{2n}+\mathbb{P}_{2n+1}\right)
3$\mathbb{P}(GAGNE)=\Bigsum_{n\ge 1}\left(p^{n+1}q^{n-1}+p^{n+1}q^{n}\right)
3$\mathbb{P}(GAGNE)=\Bigsum_{n\ge 1}p^{n+1}q^{n-1}(1+q)
On procède au changement d'indice 3$n\to n+1 :
3$\mathbb{P}(GAGNE)=\Bigsum_{n\ge 0}p^{n+2}q^{n}(1+q)
3$\mathbb{P}(GAGNE)=p^2(1+q)\Bigsum_{n\ge 0}(pq)^n
3$\mathbb{P}(GAGNE)=p^2(1+q)\frac{1}{1-pq}
3$\fbox{\mathbb{P}(GAGNE)=\frac{p^2(1+q)}{1-pq}}

3. En intervertissant les rôles de p et q, il vient :
3$\fbox{\mathbb{P}(PERD)=\frac{q^2(1+p)}{1-pq}}

Remarque :
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{p^2(1+q)}{1-pq}+\frac{q^2(1+p)}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{p^2+q^2+pq(p+q)}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{p^2+q^2+pq}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{(p^2+q^2+2pq)-pq}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{(p+q)^2-pq}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=\frac{1-pq}{1-pq}
3$\mathbb{P}(GAGNE)+\mathbb{P}(PERD)=1

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 11:16

Merci beaucoup, je pense avoir compris, je vais réessayer de mon coté.
Seulement, la question 4 correspond au cas où il ne gagne pas  et ou il ne perd pas, c'est-à-dire la séquence de lancers amenant à PFPFPF...PFP.... (pile et face alternant toujours).
Soit : P= p^(n/2) * q^(n/2)
Or 0<p<1 et 0<q<1 dc P tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc la probabilité que la partie se poursuive indefiniment est nulle, cet événement est dc quasi impossible.

Est-ce bien cela?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 11:17

Oui.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 11:18

Attention, il y a aussi l'autre séquence FPFPF..

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 11:33

dc P = 2 *p^(n/2) * q^(n/2)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 11:35

Plutôt :
3$...=\lim_{n\to +\infty}2p^nq^n=0

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 14:34

a bon. Pourquoi puissance n vu qu'on alterne entre pile et face à chaque lancer ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 15:04

Je considère la probabilité que le jeu ne se soit pas terminé après 2n lancers.
Pour ta part, tu considères n lancers. Pourquoi pas. Mais dans ce cas, il faut distinguer les cas n pair et n impair. Car n/2 n'a pas de sens dans tous les cas.

Posté par
jolymilyre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 16:16

d'accord j'ai compris.
Merci beauciup de votre aide.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Problème de pile et face ! 06-04-08 à 16:20

Je t'en prie.


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