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Niveau Maths sup
problème de probablitiés : densités...
Posté par kawakhon
Bonjour et avant toute chose Joyeuses Paques, j'espère que la consommation d'oeufs ou de chocolat (ou les deux) n'a pas été excesssive.
Voila mon souci, je bloque sur une partie d'un problème dont voici l'enoncé :
Les variables Di sont indépendantes et suivent la meme loi exponentielle d'espérance égale à 1
On pose T0 = 0 et pour n non nul, Tn =
(Tn)n est une suite strictement croissante et Dn+1 = Tn+1 - Tn
1-On a prouvé que l'esperance et la variance de Tn valent toutes deux n
2-a- pour t>0 on a prouvé que (Tnt)
(|Tn - n|
n - t)
Voila où je bloque:
2-b- A l'aide de Bienaymé Tchebytchev en déduire la valeur de lim P(Tn t) qd n tend vers l'infini.
Je trouve avec BT que la limite vaut 0 ce qui doit etre faux puisque la question suivante nous invite à déduire du résultat de 2-b- que l'événement (Tk
t) est de probabilité nulle.
Où est l'erreur et que faire?
je présume que la limite de P(Tn t) devrait valoir 1 donc je pense qu'il me manque une notion pr faire le lien entre BT et l'inclusion de 2-a-
Merci d'avance pour toute aide.
Salut,
je ne vois pas de problème!
Je trouve comme toi avec B-T et comme les événements qui sont écrits dans ton intersection constituent une famille décroissante, la probabilité de leur intersection est égale à la limite lorsque k tend vers l'infini de donc à 0.
Tigweg
Citation :
la valeur de lim P(Tn
t) qd n tend vers l'infini.
la valeur de lim P(Tn
t) qd n tend vers l'infini.Intuitivement c'est 0, car
Ensuite, pour la même raison (croissance), on a
je ne comprends pas pourquoi les événements forment une famille décroissante (Tn)n est bien croissante?
Oui , donc pour tout t on a bien Tn+1 < t implique Tn < t.
Ainsi (Tn+1 < t) est bien inclus dans (Tn < t).
oui oui compris. merci encore.
Par hasard je pose une partie du problème si tu as le temps,
On reprend les notations précédentes,
1-Soit r>0 déterminer une densité de probabilité de la variable -rD1
Là je trouve que la densité est (1/r)exp(x/r) si x 0 et 0 sinon
2-Soient les variables Di et Ci indépendantes avec les Ci qui suivent la meme loi exponentielle d'esperance égale à c
Déterminer une densité de probabilité f,continue sur 
de la variable L1 = C1 - rD1
Et donc la je bloque car c'est un produit de convolution mais à la fin de mes calculs je n'arrive jamais à trouver une densité.
Si tu as du temps...merci pour ton aide.
Pas de quoi
1)Je trouve bien la densité que tu as écrite.
2)J'ai moi aussi un problème en effectuant le produit de convolution, je trouve une densité égale à
dont l'intégrale diverge grossièrement en l'infini!
De plus même si j'ai oublié quelque part (mais je ne comprends pas où!) une fonction caractéristique sur les négatifs, l'intégrale de cette densité ne donne pas !
Je ne comprends pas!
memes problèmes que toi, l'intégrale ne converge pas et donc pas d'intégrale impropre égale à 1.
Cependant je ne trouve pas la même densité.
j'ai fL1= le tout pour x
0
Et en prenant f(t) = si t
0 et 0 sinon
et g(x-t)= si t
x et 0 sinon
Or en echangeant et en prenant f(x-t) et g(t) on trouve un résultat différent :
pour tout x 0 ,
fL1= -
Ou est l'erreur...
Ok c'est moi qui avais mal lu!
Bon de toute façon ça ne change absolument rien à notre problème, si on pose d=1/c on retombe sur les mêmes calculs.
Par contre la question que je me pose, c'est comment tu fais pour récupérer une fonction caractéristique de R- en convolant tes deux fonctions?
le calcul de convolution consiste bien à multiplier lorsque c'est possible les densités?
Peu de pratique donc il se peut que je fasse erreur...
Ah non le produit de convolution de f et g évalué en x, c'est l'intégrale sur R de f(x-y)g(y) par rapport à y.
Alors je ne vois pas comment tu récupères une fonction caractéristique de R- en convolant tes deux fonctions, dans ce cas!
désolé pour la pauvreté de mon jargon mathématique mais je ne vois pas ce que tu appelles fonction caractéristique de R-.
Correction
pour les g(x-t) et f(t) que j'ai défini je trouve:
mieux peut être?
Voilà c'est ça la fonction caractéristique de R-!
C'est la fonction qui vaut 1 sur les négatifs et 0 ailleurs.
Comment fais-tu pour parvenir à te limiter aux nombres négatifs?