Bonjour.

Le sujet est vaste et il serait plus simple de travailler sur quelques exemples qui te posent problème.
Malgré tout, voici quelques pistes préliminaires.

¤ Soit E un K-espace vectoriel de dimension n > 1, = , ... , une famille de E. Posons r = rg(). On a forcément
r < min{n,p}
r = dim[vect()]

¤ Si u est une application linéaire d'un K-espace vectoriel E de dimension p dans un K-espace vectoriel F de dimension q, le rang r de u est le rang de l'image par u d'une base quelconque de E. Donc, c'est le rang d'une famille de p vecteurs d'un espace de dimension q : r < min{p,q}.

A plus RR.

Bonjour,

Le rang d'une application linéaire de E dans F, c'est la dimension de Imf.

Or si on note une base de E, on a Imf=vect

Comme le rang est la dimension de Imf, il reste à déterminer une base de Imf.

On peut aussi se servir des matrices pour étudier le rang d'une AL.

Mais d'autres t'en parleront bien mieux que moi

Salut Raymond !

Ben voilà c'est bien mieux expliqué que moi

Bonjour Rouliane.

Je n'ai pas mieux expliqué que toi, je trouve que nos deux messages se complètent bien. Je pense que 1 shumi 1 nous donnera quelques exercices d'application pour éclairer ces notions.

A plus RR.

Tu penses bien Raymond.
Merci à vous deux pour ces explications.

Exemple(s) donc puisque c'est si gentillement demandé.

dans :

J'en ai d'autres, mais un à la fois.


Ayoub.

Salut Ayoub

Ta famille est libre et de cardinal maximal donc c'est une base de vect(F).
On a alors rg(F)=dim(vect(F))=card(F)=4.

Bonjour Night',
Elle peut pas être libre puisque:

0(1,0,1,0)+ (1,1,0,0) - (-1,-1,1,0) + 1/2 (0,0,2,0) = (0,0,0,0).

Je me suis encore viandé ou ya un truc que j'ai pas compris?

Ta somme ne donne pas le vecteur nul mais (2,2,2,0) !

non tu as raison Schumi, ta famille est de rang 3, nightmare a juste oublié la jolie colone de zéro ^^

Bonjour,

Dans ton dernier message, c'est faux ,  revérifie

bonjour 1Schumi1
me voilà de retour aprés quelques jours de vacances en bord de mer,je constate que tu es toujours au travail
pour ton exercice tu peux commencer par remarquer que si F est la famille (v₁,v₂,v₃,v₄) v₄=2(v₂+v₃)
il reste à voir si (v₁,v₂,v₃) est une famille libre
(sauf erreur de ma part)
Edit Kaiser

Oups oui, les 0

0(1,0,1,0)+ (1,1,0,0) + (-1,-1,1,0) - 1/2 (0,0,2,0) = (0,0,0,0)

Erreur de signe.

j'ai encore des erreurs de frappe désolée

On va mettre ça sr le compte des vacances.

Bonjour à vous tous!

Veleda> Ca va? Tu es toute bronzée?
Ayoub> Toujours dans la "géométrie" à ce que je vois?

C'est pas gentil. J'essaie d'en finir. Je pense que d'ici à mardi, j'en aurai fini une bonne fois pour toute.

Moi, pas gentil?

La liberté de (v_1,v_2,v_3) est casi triviale.
Pour conclure, qu'est ce qu'on dit? (v_1,v_2,v_3) est une famille libre (et génératrice ?) de Vect(F).
Par suite dim(vect(F))=3.

C'est bon?

oui la famille (v₁,v₂,v₃) est libre (et génératrice)donc dim (vect(F))=3
>>Tigweg oui il a fait beau mais la mer du nord ce n'est pas la méditerranée c'est plus vivifiant mais l'on bronze moins

Si demain, je postes des exos (et ma correction avec) ça vous dérangera pas trop de les corriger, svp?

Ca a l'air de déranger apparemment

Pour ma part, je pourrais regarder ça dans la mesure de mes possibilités

En ce qui me concerne, avec plaisir!

d'accord pour corriger

Merci.

Voilà le deuxième:
dans

Comme , on en déduit que .

Cette famille est libre, donc

C'est bon?


Ayoub.

tous a fait !

je dirais meme plus "cette famille est libre car échelonée en degré" ^^

Encore un petit pour la route:

Dans on considère où







En prenant successivement les couples (1,0,0,0) ; (0,1,0,0) ; (0,0,1,0) et (0,0,0,1) on obtient que :

En résolvant le système, on trouve

est donc libre et par suite

C'est bon?


Ayoub.

oui c'est exacte.

Bon, je pense avoir compris. En général, on cherche si la famille est libre. Si c'est le cas, alors le rang de la famille est le nombre d'élément de celui-ci (c'est une base de Vect(F)). Dans le cas contraire, on cherche les éléments qui peuvent s'exprimer en fonction des autres. On "libère" ainsi la famille tout en vérifiant qu'elle reste géné de vec(F). On conclut alors.

Grosso modo, c'est bien ça?

bonjour,
j'arrive trop tard,je suis d'accord avec ton post de 13h53
une petite remarque (1,0,0,0) est un 4-uplet pas un couple idem pour les suivants
tu t'attaques à quoi maintenant?

oui c'est bien ca, sachant qu'il y aussi des methodes plus algoritmique pour faire cela (cf pivot de gauss), mais à la main elle sont pas forcement plus intéressante.

Je continue dans ma foulée. Mais maintenant, rang d'une application linéaire. Je termine l'exo et je le poste ainsi que ma réponse.

Bonsoir tout le monde!

Ayoub> J'ai l'impression que tu commences à prendre goût aux espaces vectoriels dis-donc!
Mes prévisions se réaliseraient-elles plus tôt que prévu?

Tigweg

Salut LE TIGRE

Te réjouis pas trop vite. Demain soir, j'arrête et je passe à l'analyse.
Mais ce n'est pas sans regrets.
Tu as cependant raison en partie: J'ai pas trop en vie d'arrêter l'algèbre tout de suite, j'ai envie de faire les matrices. Le problème c'est qu'en prépa on commence avec l'analyse. On peut pas toujours faire ce qu'on veut.

Ayoub> Oui mais l'analyse c'est facile, c'est juste le prolongement de ce que tu as fait en Terminale, il n'y a que très peu de nouvelles façons de raisonner(à l'exception de la convergence uniforme, dirais-je).

Travaille donc les matrices si c'est ton voeu le plus cher!

Si c'est facil, je vais le faire rapidement et vais revenir en flèche sur les matrices.


Ayoub.

_{P.S: T'es pas censé répliqué "salut marylin" ?}

<sub>j'ai décidé d'arrêter les hostilités .Cela dit, je l'ai quand même écrit en rouge, ça ne vous aura pas échappé!

Au fait ce théorème de Bernstein, ça avance Monrow?</sub>

C'est qui encore celui-là?

"Le problème c'est qu'en prépa on commence avec l'analyse."


par forcement, de ce que j'ai vu y a deux grande école : certain prof préfaire ne pas trop brusquer leur éleves et commence donc par ce qu'ils connaissent déja un peu, ie l'analyse. (genre la trigo c'est pas mal pour commencer dans cette optique... )

d'autre partet au contraire du principe qu'il vaut mieux un maximum de rupture avec le secondaire, et commence directe par l'algèbre la plus formelle qui soit (enfin dans le programe de sup hein ^^ ) : les structures algébrique par exemple. ou de la logique formelle ou ce genre de chose.

hmmmmmm et:

- continuité uniforme
- La heine
- Théorème de Bolzano-Weierstrass je ne sais même lire son nom

Dans la prépa où je vais en tous cas, il commence avec la sujection injection, ... puis c'est complexes et géométrie plane et par suite c'est l'analyse.
L'algèbre c'est la fin d'année.

Ayoub> Injection/Surjection [Démonstration]

Monrow> Oui mais ces notions sont assez intuitives et ne nécssitent aucun outil sophistiqué, ni des capacités d'abstraction démesurées

Kévin, lui, il m'avait déjà donné son pdf avec la démo au propre et un exemple.

J'ai eu des cheveux blancs avec ces chapitres

Pour Bernstein c'est ok

ben non non, essaie et tu verras... surtout celle de Marcel

-> Rôôôh, c'est la solution de facilité, ça!
Il vaut mieux comparer les approches!