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Injection/Surjection [Démonstration]
Bonsoir 
Suite à exercice proposé par Nightmare.
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Soit et
deux ensembles non vides.
Démontrons l'équivalence
On considère l'application surjective .
On définit l'application en associant à un élément de
l'un de ses antécédents par
.
Par conséquent .
L'application identité étant bijective, il en advient que est injective et donc
est également injective.
Réciproquement on montre que si est injective alors
est surjective. On a finalement l'équivalence désirée.
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Merci
bonjour infophile!
Je ne suis pas sûr de comprendre ta démonstration est ce que tu peux m'éclairer ?
tu définis v comme étant l'application tel que donc en fait
or
n'existe que si u est bijective non ?
merci pour tes précisions !
Pour illustrer la démo, un diagramme de Venn :
![Injection/Surjection [Démonstration]](img/forum_img/0111/forum_111613_1.GIF)
En fait je prends les éléments de F qui ont un unique antécédent pour que v soit injective. Simplement pour montrer qu'il "existe" une surjection de F dans E.
Mais je dis peut-être (surement 
) des bétises...
Regardez sur Wiki tout en bas dans la partie "Propriétés" je pense avoir utiliser la première qui est celle-ci : 
Une fonction f: X → Y est surjective si et seulement si il existe une fonction g: Y → X telle que f ∘ g soit égale à la application identique sur Y. (cette proposition est équivalente à l'axiome du choix.)
Qu'en pensez-vous ?
La démo d'infophile est OK.
Le fait que ne suffit pas à dire que
, il faudrait de plus pour cela que
.
Tu as montré qu'une application surjective est inversible à droite, voilà.
J'avais des doutes aussi sur la démonstration, mais Kevin m'a convaincu sur msn
Bravo Kevin !!!
Romain
Je pense avoir compris.
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Axiome du choix : Pour tout ensemble ,
étant l'ensemble des parties d'un ensemble
. Il existe une fonction
dite fonction de choix telle que
.
-----
Donc l'ensemble en question dans notre cas, c'est l'ensemble des antécédents
de
par
si j'ai bien compris. Et la fonction
c'est mon application
.
C'est cela. Sauf pour C c'est un peu mal dit. Mieux dit, si on note a(y) l'ensemble des antécédents de y, alors C est l'ensemble des a(y) quand y parcourt F.
en fait j'avais mal analysé ta démo Kevin elle me semble effectivement juste après plus mûre reflexion.
En fait après avoir lu la remarque de stokastik j'ai compris que j'ai confondu uov et vou.
merci de m'avoir répondu !
Bonjour Youpi. Puisque tu passes par là, je te mets un lien vers une JFF dont tu es l'héroïne Expresso_JFF_Charade_13
merci de m'avoir répondu !
Merci à toi de t'être penchée sur mon problème
Et bon nouvel an !
![Injection/Surjection [Démonstration]](img/forum_img/0111/forum_111613_1.gif)
Le 31-12 , c'était mon anniversaire HéHé!
Bonne année a tous (on peut toujours parler de la année..scolaire )
Kuid
Bonjour à tous,
dans le même ordre d'idées on a aussi le théorème de Bernstein selon lequel si E et F sont deux ensembles et s'il existe une injection de chacun d'entre eux dans l'autre, alors il existe une bijection de E dans F.
Joli, non? (et tellement intuitif!)
En plus la démo n'est pas très difficile(niveau sup)
Tigweg
Bonjour tout le monde;
Tigwe, je ne te dirai pas non pour la démo
Pour ta question sur le smiley d'il y a 6 mois, je pense que T_P a signalé que les gros smileys ont été supprimés et justes les rouges et les membres privilégiés qui peuvent l'utiliser en dehors de l'expresso
j'ai une "tigwegophobie" depuis le jour de marilyn monroe
Impossible d'écrire Tigwe sans le grand G rouge
En fait je me rappelle l'avoir fait en Sup en DM de début d'année.
Du coup j'en ai ressorti l'énoncé, que je vous livre tel quel, ce sera plus drôle!
"Soient E et F deux ensembles, tels qu'il existe une injection f:E->F et une injection g:F->E.On considère h=g o f et on pose G=E\g(F).
On appelle Z l'ensemble des parties X de E telles que (.
1)Montrer que Z est non vide et stable par intersection quelconque.Montrer que si , alors "
.
2)On pose et B=E\A, A'=f(A), B'= g-1(B).
Montrer: et
.
Montrer que l'application définie par
pour
et
pour
est une bijection de E sur F"
Bon courage!
TigweG
j'ai une "tigwegophobie" depuis le jour de marilyn monroe
-> T'es gonflé monroW, c'est toi qui avais commencé!
TigweG
Je me permets de refaire remonter ce topic, parce qu'il m'intéresse.
Merci Tigweg, je m'y colle.
Ayoub.
1) Z est non vide puisque .
Soit X et X' deux éléments de Z. Alors, il est bien évident sur et que
D'où
et
Par suite,
Ainsi, .
Z étant stable par intersection, on en déduit que
Je réfléchirai à la suite, 'te aprèm.
Ayoub.
Salut 1 Schumi 1, il a pas l'air tout jeune ton topic.
Il me semble que tu as fais une erreur. Pour montrer que est stable par intersection quelconque, il faut procéder autrement.
Là tu as seulement montré que est stable par intersection finie.
Il ne faut pas considérer deux éléments de
, mais plutôt une famille
d'éléments de
, et montrer que
est dans
.
Pour la suite, je pense que tu t es trompé(e) aussi.
En effet quand tu dis "Z étant stable par intersection, on en déduit que ...",
cela suppose que , est dans
,
alors que c'est ce que tu cherches à démontrer.
Le deuxième, je me suis effectivement viandé.
je rectifie le tir.
Alors .
Donc on a bien :
(Sauf erreur)
Ayoub.
Pour le premier, je pense qu'une récurrence résouds le problème.
Non justement.
Tu as prouvé que l'intersection de deux éléments de
Par récurrence tu étends le résultat:
pour tout entier n, l'intersection de n éléments de Z est un élément de Z, c'est la stabilité par intersection finie.
Autrement dit pour tout ensemble
Mais ce qu'on te demande est plus général encore.
On veut que pour tout ensemble d'indices
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