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problème de récurrence

Posté par
rijks 05-12-06 à 00:36

Bonsoir,
je bloque sur une partie d'un exo: il faut démontrer par récurrence :
f^n()=(-2)^n *p()
f étant une application linéaire de 3 3
p étant une application linéaire de 3 3

on sait que f=(-2)p et p°p=p
si qq'un peut m'aider,svp?

Posté par re : problème de récurrence 05-12-06 à 10:04

bonjour,

au rang n=1, c'est évident.
on suppose que c'est vrai pour un certain rang n fixé,
$f^{n}(\vec{u})=(-2)^np(\vec{u})$
donc :
$f(f^{n}(\vec{u}))=f((-2)^np(\vec{u}))=$
puis que f est linéaire on a :
$f^{n+1}(\vec{u})=(-2)^nf(p(\vec{u}))$

on utilisant la définition $f=(-2)p$ on en déduit :
$f^{n+1}(\vec{u})=(-2)^n(-2)p(p(\vec{u}))=(-2)^{n+1}p(\vec{u})$

ce qui achève la démonstration.

Posté par problème de récurrence 05-12-06 à 10:06

Bonjour.

¤ La récurrence commence à n = 1.

¤ supposons :
$2$\textrm f^n(x) = (-2)^{n}.p(x)$

¤ passons au rang n+1
$2$\textrm f^{n+1}(x) = f[f^n(x)] = (-2)p[f^n(x)] = (-2)p[(-2)^{n}.p(x)]$

Comme p est linéaire, le scalaire (-2)ⁿ peut être extrait.
En plus p°p = p, donc :
$2$\textrm f^{n+1}(x) = (-2).(-2)^{n}p^2(x) = (-2)^{n+1}p(x)$

conclusion :

$3$\textrm\forall{n}\ge 1 , f^{n} = (-2)^{n}.p$

A plus RR.

Posté par re : problème de récurrence 05-12-06 à 13:27

oki merci !!

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