Niveau Maths sup

Problème de rédaction 2

Posté par
ferenc 23-12-11 à 11:44

Re-bonjour,
Pouvez vous me dire si un démonstration et une rédaction de la sorte vous semble correcte ?

1) Montrer que $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{k}=+\infty$

$\bullet$ Montrons que la suite $\left(\sum_{k=0}^n\frac{1}{k}\right)_{n=0}^\infty$ diverge.
Soit $n\in\N$ :
$S_{2n}-S_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\leq n\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$
Ainsi, en prenant $\epsilon=\frac{1}{2}$ on a que $\forall N\in\N,\exists m,n\in\N:n,m>N\wedge|S_m-S_n|>\epsilon$ , ce qui est contraire à une suite de cauchy.
Ainsi, la série diverge.

Pour la limite, je pense que je n'ai pas de problème

-----------
Il y a une chose qui me travaille, je n'ai pas l'impression d'avoir montré
$\forall N\in\N,\exists\epsilon,\exists m,n\in\N:n,m>N\wedge|S_m-S_n|>\epsilon$
qu'en pensez vous ?
merci

Posté par re : Problème de rédaction 2 23-12-11 à 11:48

(Re)Bonjour,

Bah si, tu as bien prouvé ton assertion, avec $\epsilon = \frac{1}{2}$ , $n = N$ et $m = 2N$ .

Posté par re : Problème de rédaction 2 23-12-11 à 12:02

ah ok, donc il aurait en fait fallut au début que je dise soit $N\in\N$ et non soit $n\in\N$ ?
c'est ça ?

Posté par re : Problème de rédaction 2 23-12-11 à 12:09

Tu l'appelles comme tu veux, c'est des variables muettes.

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