Niveau Maths sup

problème de rédaction

Posté par
ferenc 23-12-11 à 11:23

Bonjour, pouvez vous me dire si ma rédaction est correcte ?

1) Montrer que une série absolument convergente est convergente

Soit $S_n=\sum_{k=0}^\infty|x_k|$ une série convergente. Soit $C_n=\sum_{n=0}^\infty x_k$ . Montrons que $(C_n)_{n=0}^\infty$ est de cauchy.
Soit $n,m\in\N$ et supposons $m>n$ .
$|C_m-C_n|=\left|\sum_{k=n+1}^m x_k\right|\leq \sum_{k=n+1}^m|x_k|=\sum_{k=0}^m|x_k|-\sum_{k=0}^m|x_k|=S_m-S_n$ .
Puisque $(S_n)_{n=0}^\infty$ est croissante, $S_m-S_n\geq 0$ et donc $S_m-S_n=|S_m-S_n|$ .

Soit $\epsilon>0$
Puisque $(S_n)_{n=0}^\infty$ converge, elle est de cauchy, et donc, $\exists \tilde{N}\in\N:|S_m-S_n|<\epsilon,\forall n,m>\tilde{N}$ .
Soit $N$ telle que $|S_m-S_n|<\epsilon$ si $n,m>N$ .
Ainsi, si $n,m>N$ on a que $|C_m-C_n|<\epsilon$ .
$(C_n)_{n=0}^\infty$ est donc de cauchy, donc elle converge.

-------
Pouvez vous me dire si me rédaction ainsi que ma démonstration est juste ainsi ce qui est superflu dans ma démonstration
merci !

Posté par re : problème de rédaction 23-12-11 à 11:34

Bonjour.

Tes notations ne sont pas correctes. $S_n = \sum_{k=0}^{\infty} |x_k|$ et $C_n = \sum_{n=0}^{\infty} x_k$ ne veulent pas dire grand chose, pour de nombreuses raisons : la notation $S_n$ montre que ça dépend de $n$ , mais $\sum_{k=0}^{\infty} |x_k|$ n'en dépend pas. De même, $C_n$ devrait dépendre de $n$ , mais dans sa définition il n'en dépend pas, et pire, on somme par rapport à $n$ . De plus, tant que tu n'as pas prouvé que la série converge, tu n'as pas le droit d'écrire $\sum_{k=0}^{\infty} x_k$ .

Je pense que ce sont des erreurs de copie de ton brouillon, car la suite de ton raisonnement est correcte, si on devine les bonnes définitions de $C_n$ et $S_n$ .

Posté par re : problème de rédaction 23-12-11 à 11:43

très juste, c'est en effet une étourderie !!
merci !

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