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Problème de Toplogie
Bonjour, bonjour je suis nouvelle ici 
Je suis sur actuellement sur un sujet de niveau L3 portant sur la topologie et j'ai un peu de mal avec une question. Si vous pourriez m'aider ca serait super . Voici l'énoncé :
Soit C(
*) l'ensemble des fonctions continues du cercke unité de 
² dans * et 
l'ensemble des fonctions f telles que : f=exp(g) où g
C(,).
Après avoir montré que les fonctions constantes non nulles appartiennent à et qu'un produit et un inverse de fonctions de est aussi dans ,
on propose de démontrer que si f est une fonction de C(*), la boule ouverte centrée en f et de rayon inf(|f|) (l'inf existe bien évidemmment) est soit contenue dans soit dans son complémentaire (l'ensemble environnant est bien entendu C(*) que l'on munira de la norme infinie ou de convergence uniforme). Et là, je sèche complètement!! En outre, on demande d'en déduire une propriété de . Merci de vos réponses
Bonsoir linda
Pour simplifier les notations, on va poser .
Soit f appartenant à E et g un élément de E qui est dans la boule ouverte de centre f et de rayon (notons B cette boule).
Alors pour tout élément de z de , on a l'inégalité
.
Comme f ne s'annule pas, alors on a .
Posons , alors pour tout élément de z de
, on a
Soit
La fonction précédente est clairement continue (convergence normale de la série)
et elle vérfie (c'est un peu balancé mais il faut penser au développement série entière de la fonction réelle
et éténdre au cas complexe) et donc h est élément de
Or , donc f est un élément de
si et seulement si g est un élément de
.
Ainsi, B est incluse soit dans , soit dans son complémentaire.
Kaiser
P.S : si tu n'as pas compris l'histoire du développement en série entière, fais-le moi savoir.
Salut Kaizer, tout ca me semble parfait sauf un truc que je ne saisie pas :
je suis assez rouillée en série mais je ne vois pas ce qui te permet d'affirmer que la série converge normalement?? Si je ne m'abuse l'idée est d'utiliser la majoration juste au dessus on obtient alors une majoration par la série des 1/n qui diverge évidemment. Alors pourquoi elle converge normalement??
Il ne faut pas majorer brutalement.
La fonction est continue sur le compact
, donc elle est bornée et atteint ses bornes. En particulier, elle atteint sa borne supérieure
qui est donc strictement inférieure à 1. Ainsi, la série
converge et donc la série que j'ai définie dans mon premier message converge normalement sur
.
kaiser
Bon sang mais c'est bien sur. Super kaiser merci de ta réponse . (Hs : tu est prof? t'as fait quoi comme études?)
Mais je t'en prie ! 
En ce qui concerne ta question : non, je ne suis pas prof mais c'est mon projet professionnel. Actuellement, je suis en maîtrise de maths.
Kaiser
Donc scolairement t'as que un an de plus et tu viens de me torcher un problème sur lequel je luttait grave lol. Pas déprimant mais pas loin
Ah oui on demande aussi une propriété de ? A part que pour tout f de il existe un ouvert contenant f et contenu dans je vois pas...
en fait je ne fais que traduire ce que tu as écrit : pour tout f de Psi il existe un ouvert contenant f et contenu dans Psi
Oui bien sur mais ca me parait pas énorme comme propriété lol, pas vous? 
Bonsoir linda
Je vois autre chose : est ouvert mais aussi fermé. En effet, son complémentaire est ouvert.
Mais je ne vois pas quoi dire d'autre.
kaiser
Remarque : si est connexe (ça je ne sais pas), on pourrait en déduire que
, ce qui semble intéressant...
Bonjour stokastik
Je ne sais pas non plus si cet ensemble est connexe mais je crois bien que l'égalité est vraie. En fait, il s'agit du théorème du relèvement dans le cas où f n'est supposée que continue (du moins, on peut s'y ramener).
Kaiser
Moi je pense qu'il est connexe. Ceci en raison d'un souvenir pour démontrer le théorème de d'Alembert (ou d'Alembert-Gauss je ne sais plus) qui dit que tout polynôme admet une racine complexe. Pour cela on montre que l'ensemble des polynômes qui ne s'annulent pas est ouvert, fermé, et connexe.
Je vais tricher un peu (désolé !! ).
Après "mûre" reflexion, je me dis comme toi que cet ensemble est connexe (et même connexe par arcs).
En effet, si je m'appuie sur le théorème du relèvement, on a que .
Par ailleurs, est connexe par arcs :
Considérons et
deux éléments de cet ensemble.
on pose alors pour tout t appartenant à [0,1],
est continue , à valeurs dans
et vérifie
et
Bien sûr, cette preuve n'est absolument rigoureuse, mais bon c'est juste pour essayer de savoir où l'on va.
Kaiser
Je ne comprends pas. Tu as bien montré (rigoureusement) que Psi est connexe par arcs non ?
Mais ce n'est pas ça qu'on veut montrer, on est bien d'accord ?
Je crois que j'ai une preuve de la connexité par arcs de
... puisque Psi est connexe par arcs (tu l'as démontré) et contient les constantes non nulles, il suffit de montrer que tout élément de peut être rélié par un chemin continu à une constante non nulle.
Soit . Alors il existe
. Le chemin
convient.
... en fait je suis stupide, au lieu d'utiliser la connexité par arcs de Psi, il suffit d'utiliser la connexité par arcs de l'ensemble des fonctions constantes non nulles...
C'est si simple ou je me plante ?
... en fait ça me semble évident géométriquement, il n'y a qu'à relier pour tout z les points f(z) et g(z) par un chemin qui ne passe pas par 0...
... dernière suggestion (j'espère, j'ai plus urgent à faire mais j'ai du mal à me détacher de ce problème...) :
peut-être un truc du genre : Si U est un ouvert de \mathbb{C} simplement connexe, alors l'ensemble des fonctions continues d'un espace topologique dans U est connexe par arcs...
... peut-être avec des conditions sur l'espace topologique...
Au fait, j'oubliais :
en ce qui concerne ma preuve non rigoureuse, j'entendais par là que j'admettais le fait que (en utilisant le théorème du relèvement) et que je démontrais ainsi la connexité par arcs de
(afin de s'assurer que cette connexité était avérée). La non-rigeur consiste à utiliser la connexité qui pourrait être à la base de la preuve du théorème du relèvement ce qui assez embêtant.
À présent, je tente de trouver comme toi une preuve rigoureuse de cette connexité.
Mince tu as raison... mais dans C^*, tous les chemins non fermés sont homotopes, c'est cela à quoi je pensais en fait
Je sais pas mais quand je fais un dessin j'ai l'impression que ça sert. Là je n'ai plus le termps d'y réfléchir.
Jsuis peut etre à coté de la plaque mais jvois pas comment E=C(,*) peut etre connexe puisqu'il existe un sous ensemble de E non vide qui est à la fois ouvert et fermé??
Sinon une question pour kaiser, si j'ai bien compris ton histoire de développement en série entière :
on a ln(1+z)=
(-1)^(n+1).z^n/n
n=1
et on applique celà à z=h(z)-1 ce qui permet de conclure que 
=h...
Ce qui me gêne un peu c'est qu'à priori le log complexe n'est pas défini sur * tout entier (je n'ai jamais fait d'analyse complexe donc je dis à priori) puisque l'exponentielle n'est pas bijective sur cet ensemble. Or a priori h(z) est quelconque. Je peut me tromper mais il me semble qu'on ne peut écrire tout celà si et seulement si il existe un homéomorphisme de la fonction exponentielle d'un sous ensemble de sur le disque ouvert |z-1|< 1 (ce qui permettrai d'écrire le log pour tout z tel que z=h(z)-1). Est ce le cas?
posté par : -linda-
Jsuis peut etre à coté de la plaque mais jvois pas comment E=C(,*) peut etre connexe puisqu'il existe un sous ensemble de E non vide qui est à la fois ouvert et fermé??
Si E est connexe, ses seuls sous-ensembles à la fois ouvert et fermé sont E et l'ensemble vide. On cherche à démontrer que E est connexe pour en déduire que Psi=E (car on sait que Psi n'est pas vide)
Bonsoir linda
C'est vrai, on ne peut pas définir le logarithme sur tout entier mais il se trouve qu'au voisinage de 0, le développement en série entière que tu as donné est vrai.
Cependant, je pense qu'on peut s'en tirer autrement.
On peut très bien se passer du logarithme car ce qu'on veut c'est simplement obtenir l'égalité suivante pour tout complexe z de module strictement inférieur à 1 :
Pour cela, on va faire intervenir une équation différentielle.
Fixons d'abord un réel quelconque.
Pour r strictement positif et strictement inférieur à 1, posons :
et
Le but du jeu sera de montrer que f=g.
Il est clair (en tout cas, j'espère !) que la série qui est dans l'exponentielle est de classe et qu'on peut la dériver terme à terme.
Ainsi, pour tout r dans l'intervalle [0,1[, on a :
Par ailleurs, on a :
Par ailleurs, on a f(0)=g(0)=1.
On remarque alors que f et g sont toutes les deux solutions de l'équation différentielle linéaire du premier ordre :
et vérifient la même condtion initiale.
Par unicité de la solution, on a f=g et ce pour tout réel , d'où le résultat voulu.
kaiser
Ah oui c'est plutot bien vu ca...
Sinon j'ai un autre soucis dans la suite du problème : promis jvous embete plus après!
soit 
une fonction de [0,1] dans C(,*) telle que :
(t)(z)=^(-1)(t(z)) où z
et :*
est un homéomorphisme.
On demande de montrer que est continue et que 
([0,1]) ( est défini plus haut également).
J'arrive à rien sur cette question . Merci pour les éventuelles réponses
Bonsoir linda
Je n'ai pas vraiment eu le temps de me plonger dans ton problème mais j'ai une chose à te demander.
Cette question ne ferait-elle pas partie d'un raisonnement par l'absurde ?
En effet, il me semble qu'un tel homéomorphisme n'existe pas. Etant donné que tu n'as pas fait d'analyse complexe, je ne vais pas pouvoir te le montrer rigoureusement mais je vais essayer de l'expliquer.
En fait, le problème vient du fait que n'est pas simplement connexe alors que
l'est (on dit qu'un ouvert de
est simplement connexe s'il est connexe et s'il ne contient pas de "trous")
Kaiser
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