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Problème de tribu (analyse réelle)
Bonsoir à tous.
Je viens de commencer un chapitre sur les tribus en analyse et un exercice me pose plusieurs problèmes.
Voilà l'énoncé de cet exercice:
Soient Y
X avec Y
et A une 
_algèbre sur X. Montrer que: {a
Y : a
A} est une _algèbre sur Y.
Voilà mon premier problème: je dois montrer que X appartient à aY ou que Y appartient à aY, je pense que c'est Y puisqu'on cherche à prouver que c'est une _algèbre sur Y. C'est bien ça ?
Merci de vos réponses!
Bonsoir conejita,
oui,tout-à-fait!
Or il n'est pas bien difficile de trouver un élément a de A dont l'intersection avec Y fait Y, vois-tu lequel?
Tigweg 
Alors je suis arrivée jusqu'à : YA et je sais que aA également mais il me manque un petit quelque chose pour conclure à Ya ...
Non, qui te dit que Y est un élément de la tribu A?
Il peut ne pas l'être!
Une piste:
Or il n'est pas bien difficile de trouver un élément a de A dont l'intersection avec Y fait Y
>Que dire d'un ensemble a tel que
Tigweg
Alors je t'explique mon raisonnement:
aA qui est une _algèbre sur X donc XA
Or YX donc YA.
Je ne pense pas qu'il y ait d'erreur...
En ce qui concerne ton post précédent je ne comprends pas ce que tu as écris juste avant "de façon très générale" dans ta dernière phrase.
a
Y=Y => a=X
C'est cela ?
Mais moi je dois montrer que YaY 
aA je ne peux donc pas partir du fait que a=X...
J'ai corrigé juste en-dessous!
Ton raisonnement concernant Y est faux:
Une tribu sur X, ce n'est rien d'autre qu'un ensemble de parties de X vérifiant certaines conditions.
Mais si a est dans la tribu, rien ne dit que toutes les parties incluses dans a sont encore dans la tribu!
Exemple simple: X = R, a=[0;2], b=le complémentaire de a dans X.
Alors il est clair que A={a;b} est une tribu sur X.
Définissons Y= [0;1].
On a bien Y inclus dans a, et pourtant Y n'est pas dans la tribu A!
Comprends-tu?
Si oui, essaie de répondre à mon message corrigé à 21h01.
C'est dingue je maitrisais très bien les tribus en probabilité et là en analyse c'est la catastrophe...
Mon message de 21h09 est faux aussi ?
Posts croisés...
Je reprends ton post de 21h09.
1)Non, ce n'est pas parce que a inter Y=Y que forcément a=X!
Ca veut juste dire que a contient Y,rien de plus.
Je t'aurais alors répondu:"Connais-tu un élément de la tribu plus gros que Y?"
Et X aurait été une bonne réponse (mais pas forcément la seule!)
2)Tu ne dois pas montrer que Y appartient à a inter Y quel que soit a dans A, juste qu'il existe un élément a de la tribu tel que Y soit l'intersection de a avec Y.
Et,encore une fois, a=X convient.
ça n'arrête pas!
OK pour la rédaction je verrai cela demain.
Reste le problème de la troisième condition pour que cette intersection soit une _algèbre qui est:
(n
,BnaY)=>
BnaY
Et là j'avoue que je sèche complètement...
oui mais mon problème est toujours d'identifier les éléments des formules au travers d'un exercice et vu que pour l'instant nous n'avons fait aucun TD sur les tribus c'est encore un peu abstrait dans ma tête, j'ai besoin de modèles d'exos pour avoir vraiment la méthode de résolution d'un exo en tête.
Par contre je ne saisis pas pourquoi tu dis "Y=Y inter a" alors que cette égalité n'apparait nul part... Moi je dois montrer que y appartient à Y inter a... Je ne vois pas d'où sort cette égalité!
Pour la troisième condition, là encore tu as mal posé ce qu'il falait démontrer.
Pour tout n, Bn doit être l'intersection d'un an (élément de A) avec Y, et non pas appartenir à jene sais quoi!
.
Donc:
Moi je dois montrer que y appartient à Y inter a
>Mais non!!
Il faut bien te dire que Y et a sont des ensembles, des parties de X si tu préfères, pas des éléments!
Par contre A est un ensemble de telles parties, donc ça a un sens d'écrire que X appartient à A.
Ca ne veut pas dire que A est plus gros que X, ça veut juste dire que A est une collection de plusieurs parties de X, et que X est l'une d'entre elles!
Maintenant l'éxriture y appartient à Y inter a n'a aucun sens!
Dans mon cours c'est exactement la formule que j'ai écrite et non une égalité! d'ailleurs en proba ce sont aussi des inclusions et non des égalités...
Si tu ne me crois pas, attends le corrigé, tu verras que j'ai raison.
Tu n'as pas compris ce qu'est une tribu.
Voilà la déf du cours avec les termes utilisés par le prof:
Soit X un ensemble, P(X) l'ensemble des parties de X. Alors ToP(X) s'apelle une tribu (_algèbre) si et seulement si:
1_To, XTo
2_ATo=> X\ATo
3_(n,AnTo)=> AnTo
Tu vois donc bien qu'il n'y a aucune inclusion, seulement des appartenances!
Pour prouver que Y appartient à la tribu constituée des aY, il faut donc bien TROUVER a dans A tel que
Y soit EGAL à aY!
(égalité entre éléments d'une même tribu, c'est cohérent,non?)
Et bien en général pour prouver que Y appartient à Y inter a on montre que Y appartient à Y (évident) et que Y appartient à a ...
Ce que je ne saisis pas c'est pourquoi on cherche un a tel que Y soit EGAL à Y inter a ... D'où vient cette égalité? (désolée je sais que je suis pénible)
Et bien en général pour prouver que Y appartient à Y inter a
>Ce n'est pas ça qu'il faut prouver,mais que Y est l'UN DES Y inter a lorsque a décrit A.
En effet la tribu qu'on veut construire sur Y sera constituée de tous les Y inter a.
Pour montrer que Y est dans cette tribu,il faut donc bienmontrer que Y est l'un des Yinter a,autrement dit trouver a dans A tel que Y soit égal à Y inter a.
on montre que Y appartient à Y (évident)
Y est inclus dans Y,ou Y=Y ok.
Mais Y n'est pas ELEMENT de Y!
En fait ce que tu ne différencies pas, c'est l'appartenance et l'inclusion.
Un ensemble n'apartient pas à lui-même!! (sauf dans des cas très compliqués dont je ne veux même pas parler)
un élément appartient et un ensemble est inclu ça je l'ai bien saisi mais dans la déf de cour on parle d'élément alors qu'ici c'est un ensemble...
Larguée ...
Bon allez hop, petite Aide Individualisée
Fais un dessin, une patate X.
A l'intérieur, dessine 2 patates a et b, qui se rencontrent ou pas.
Appelle A l'ensemble {vide,X,a,b.}.
C'est une famille de parties de X,ok?
A-t-on X appartient à A?
A quelle condition A est-elle une tribu sur X?
Relis aussi mon message de 21h10,peut-être comprendras-tu mieux.
Oui X appartient à A.
Pour que A soit une tribu il faut que :
1_vide appartienne à A (OK), X appartient à A (ok)
2_ pour chaque partie de A son complémentaire doit appartenir à A
3_l'union des parties doit appartenir à A
"Exemple simple: X = R, a=[0;2], b=le complémentaire de a dans X.
Alors il est clair que A={a;b} est une tribu sur X."
Petit détail: On n'est pas obligé de dire que A={vide;a;b;X}?
Oui mais pas seulement, n'oublie pas qu'il faut aussi que leur intersection soit dans A et que le complémentaire de tout élément de A doit encore y être!
Donc quelles sont les seules possibilités?
"il faut aussi que leur intersection soit dans A" pourquoi ? On ne parle pas d'intersection dans la déf d'une tribu ?
En fait on peut omettre cette hypothèse dans la définition, mais c'est une conséquence de la définition.
Ok intéresse-toi juste aux complémentaires.
alors donc il faut que :
_ab = X (si non vide)
_a soit le complémentaire de b OU a complémentaire de X (dc vide) OU a complémentaire de vide (dc X)
_idem pour b
Voilà!
Comprends-tu mieux?
A présent relis le début de ce fil, tu devrais mieux comprendre et arriver à tes fins.
J'y vais,j'ai encore du boulot,bonne nuit!
Bonjour,
Une façon plus rapide pour démontrer que c'est une tribu consiste à justifier que c'est la tribu engendrée par l'injection canonique i: Y -> X.
lol personne n'étudie l'injection canonique
"Canonique" ça veut dire "naturel" (rigoureusement ça veut rien dire).
Y est contenu dans X
L'injectiion canonique i: Y -> X est définie par i(y)=y.
C'est l'application identité quoi, mais là on peut pas dire identité car i n'a pas les mêmes ensembles de départ et d'arrivée
Si je l'avais déjà rencontré mais pas dans ce contexte... Donc j'ai cru qu'une injection canonique était peut être une injection particulière! lol
Bref en tout cas je pense que je vais laisser tomber cet exo car j'y ai passé tout ma soirée d'hier et une partie de cette après midi et je n'y arrive toujours pas... Il y a encore des choses que Tigweg m'a expliquées (avec beaucoup de patience d'ailleurs) que je n'ai pas comprises et je ne vois toujours pas comment faire pour l'union...
Désespérée...
Bonjour Tigweg!
L'exo doit être fait par binôme, mon binôme a lu cette conversation et tout comme moi elle ne comprend pas cette histoire d'égalité...
Mais vu le temps que tu as passé à m'expliquer et vu que je n'ai toujours pas compris on présentera la correction comme on peut et on verra bien avec la prof (qui parle à peine le français d'ailleurs ce qui n'aide pas franchement à la compréhension des TD lol).
Bonjour conejita!
Je suis désolé mais je ne vois pas comment mieux expliquer les choses par écrit, en vrai ce serait sans doute plus simple!
Bon allez une dernière tentative!
La tribu B sur Y, c'est TOUS les ensembles b pour lesquels il existe un élément a de la tribu A tels que
b=aY.
Ainsi prouver qu'un certain ensemble b est dans la tribu B, ça revient à démontrer que b peut s'écrire aY pour un certain a de A,
autrement dit c'est bien démontrer une égalité!
En particulier, pour démontrer que Y (qui joue le rôle de b) est dans la tribu B, il faut bien démontrer qu'il existe a dans A tel que
Y = aY.
Or le choix a=X convient puisque Y est inclus dans X, ce qui implique
Y=XY,
avec X qui est bien un élément a de A dans la mesure où toute tribu A sur X contient X comme élément.
Bon courage!
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