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problème de trigonométrie avec les nombres complexes

Posté par
grawa427
23-12-20 à 19:55

Bonjour,
mon professeur nous a donné un DM, le niveau du DM est assez élevé, j'aimerais bien une petite aide pour certaines questions ainsi que la confirmation que j'ai bien répondu pour un élément.
Exercice 2)
2)b) On a Cn + iSn = \frac{1-(e^{ix})^{n+1}}{1-e^{ix}}
En déduire les expressions de Cn et de Sn en sachant que 1-e^{i\theta } = -2sin(\frac{\theta }{2})e^{i\frac{\theta }{2}}
J'ai trouvé Cn = \frac{cos(\frac{xn}{2})sin(\frac{x}{2}(n+1))}{sin(\frac{x}{2})}
et Sn = \frac{sin(\frac{xn}{2})sin(\frac{x}{2}(n+1))}{sin(\frac{x}{2})}
J'ai l'impression que l'on peut encore simplifier mais je ne sais pas comment faire.
Pour la question 3 et 4 je suis coincé:
3) On pose Cn = \sum_{k=1}^{n-1}{cos\frac{k}{n}}
et Sn =  \sum_{k=1}^{n-1}{sin\frac{k}{n}}
Déduire de 2.b) que Cn = 0 et Sn = \frac{1}{tan\frac{\pi }{2n}}
4)Déterminer \lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{Sn}{n}
Merci d'avance de l'aide!

Posté par
LeHibou
re : problème de trigonométrie avec les nombres complexes 23-12-20 à 20:29

Bonsoir,

Il serait bien de rappeler les formules de Cn(x) et Sn(x) qui ont permis d'arriver à 2,b) Cn + iSn = ...
Les Cn et Sn de la question 3 se déduisent certainement de ces Cn(x) et Sn(x) pour une valeur bien choisie de x.

Posté par
grawa427
re : problème de trigonométrie avec les nombres complexes 24-12-20 à 10:51

On a initialement Cn = \sum_{k=0}^{n}{cos(kx)} et
Sn = Cn = \sum_{k=0}^{n}{sin(kx)}
On utilise ses formules pour trouver Cn + iSn pour 2)b) (que j'ai déjà trouvé)

Posté par
Glapion Moderateur
re : problème de trigonométrie avec les nombres complexes 24-12-20 à 11:11

Pour 3) as-tu essayé de faire x=1/n (et n en n-1) dans les formules que tu as trouvées ?



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