Salut!
N'ayant pas cerné ta question , je l'interprète à ma sauce

J'imagine que tu t'interroges sur la signification de la dimension de Hausdorff.
A juste titre, puisque c'est une notion assez subtile.
Elle est intimement liée à celle de mesure.
Pour ça, parlons d'abord de tribu (a titre informatif):

On appelle tribu tout ensemble non vide, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable de parties.
Un exemple de tribu est la tribu discrète : l'ensemble des parties d'un ensemble E : P(E).
C'est non-vide, stable par passage au complémentaire et par union dénombrable de parties.
(C'est en outre plus fort que la notion de topologie).

Un exemple important de tribu est celui de tribu borélienne, qui joue un rôle fondamental en théorie de la mesure.
Il s'agit de la tribu des ouverts. Dans le cas des réels, la tribu borélienne de R est engendrée par les  les boules ouvertes,les pavés ouverts,  en général toutes sortes d'ouverts (ce qui te permet de généraliser énormément la notion d'intervalle, et même (mais nous n'en parlerons pas, d'intégrale, il s'agit de l'intégrale de Lebesgue: la nature des éléments différentiels est beaucoup plus variée)).

On parle de mesure sur un espace mesurable (X,T) (désignant le couple d'un ensemble X et d'une tribu T associée à X) toute application définie sur T à valeurs dans R+, vérifiant :

1) L'ensemble vide est de mesure nulle
2) Soit (Ai) une famille d'ensembles disjoints de A, la mesure de leur réunion est égale à la somme des mesures de chaque Ai.

La notion de mesure est assez intuitive : elle consiste à associer une grandeur (par exemple le poids, la température, la taille etc...) à un ensemble.

Pour en revenir à la dimension de Hausdorff-Besicovitch, qui est en réalité une sorte de mesure, associée à la donnée d'un espace métrique, je vais en fait largement m'inspirer de l'introduction dispensée dans l'article de Wikipédia, que je trouve excellente.

La dimension de Hausdorff est une dimension TOPOLOGIQUE, qui  diffère de la notion de dimension à laquelle nous sommes habituellement confrontés de la manière suivante.
Il s'agit ici non pas de savoir le nombre de coordonnées nécessaires à déterminer les éléments d'un ensemble, mais de déterminer le nombre minimal de boules de rayon r nécessaires à recouvrir l'ensemble (dont l'union dénombrable vaut l'ensemble).
Evidemment, les boules ne sont pas toujours circulaires ^^.

Pourquoi a-t-on besoin de définir ces objets ?
Car dans le cas des fractales par exemple, dont le comportement à l'infini reste le même, en obtenir un recouvrement n'est pas évident (il s'agit quand-même d'objets bien singuliers!)
je précise qu'obtenir un recouvrement est une forme d'intégration. (On fait cela couramment avec l'intégrale de Riemann).
Dans le cas d'un flocon de von Koch, une excellente explication est expliquée ici: http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/dimension.html

Voila,
en espérant avoir été clair
A+
Weensie

est proposée ici*

pour cantor, tu passes de longueur 3 à une longueur 2
pour sierpinski, tu passes d'aire 4 à une aire 3

c'est ln(après)/ln(avant)