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probleme devariation d'hypothénuse

Posté par audreymaths (invité) 16-05-07 à 16:29

bonjour voila j'ai un exercice a resoudre mais je ne comprend meme pas d'ou il faut partir pourriez vous m'aider merci

ex : trouver une approximation de la variation de longeur de l'hypothénuse d'un triangle rectangle de 6 et 8  cm de côtés quand le plus petit des côtés de l'angle droit est allongé de 1/4 cm et le plus long raccourci de 1/8 cm

merci pour votre aide

Posté par
Nielsre : probleme devariation d'hypothénuse 16-05-07 à 17:43

On considère deux triangles rectangles.

Le premier a des côtés de longueurs a_1\,:=\,6 \,\text{cm},\ b_2\,:=\,8\,\text{cm}, \text{ et } c_1\,:=\,\sqrt{6^2+8^2}=10\,\text{cm.}

Citation :

le plus petit des côtés de l'angle droit est allongé de 1/4 cm et le plus long raccourci de 1/8 cm


D'après ce qu'on te dit, pour le second triangle :

a_2\,:=\,6+\frac14\,\text{cm},\ b_2\,:=\,8-\frac18\,\text{cm}, \text{ et } c_2\,:=\,\sqrt{\left(a_2\right)^2+\left(b_2\right)^2} (d'après le théorème de Pythagore.)

Le problème est de savoir comment a varié l'hypothénuse, autrement dit quelle est la nouvelle valeur de c_2, ce qu'on connaîtra lorsqu'on aura estimé la quantité c_2-c_1.

Mais à quel niveau est-tu ?

As-tu vu les dérivées partielles dans ton cours ?

Cordialement,
Niels.

Posté par
Nielsre : probleme devariation d'hypothénuse 16-05-07 à 18:25

D'après ce que je crois,

il convient d'introduire la fonction f\,:\,\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, définie par :

f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} \; \forall x,y\in\mathbb{R}.

Alors c_1 = f(a_1,b_1), et c_2 = f(a_2,b_2) = f((a_1,b_1)+h), où h=(+\frac14, -\frac18)\in\mathbb{R}^2

Ensuite, comme h est de norme relativement petite, tu peux approximer la valeur de f en (a_2,b_2) en prenant en considération l'application affine tangente (analogue de f(a_0)+la dérivée en dimension 1). Il s'agit d'écrire :

f((a_1,b_1)+h) \simeq f(a_1,b_1) + Df(a_1,b_1)(h), avec :

Df(a_1,b_1)(h) = <\text{grad}\,f\,(a_1,b_1),\ h>  (où <\cdot,\cdot> désigne le produit scalaire usuel.)

Je te laisse calculer les dérivées partielles correspondantes, et conclure.

Cordialement,
Niels.

Posté par audreymaths (invité)re : probleme devariation d'hypothénuse 16-05-07 à 19:12

oui je suis en premiere année a l'insa donc on a vu gradient derivé partielle et tout merci pour votre aide

Posté par audreymaths (invité)re : probleme devariation d'hypothénuse 16-05-07 à 21:43

ok j'ai compris en gros il faut simplement faire une approximation affine ?

Posté par
Nielsre : probleme devariation d'hypothénuse 17-05-07 à 16:01

Oui Audrey,

C'est la démarche qui me semble la plus plausible, d'après l'énoncé.

Mais cette méthode "simple" n'est pas ridicule pour autant : elle fait intervenir la différentielle d'une fonction à plusieurs variables, qui est une notion centrale en Calcul Différentiel relativement difficile à maîtriser, notamment en raison de la lourdeur des notations...

Bon après-midi !
Cordialement,
Erik.

Posté par audreymaths (invité)re : probleme devariation d'hypothénuse 17-05-07 à 16:03

merci beaucoup j'ai reussi le tout était d'introduire la fonction merci


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