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problème en math

Posté par lio68 (invité) 19-02-06 à 16:59

bonjour,

j'ai un petit problème en math pour résoudre un exercice de 1ère année de licence :

en s'aidant de formules de trigo, montrer que :
pour tou x appartenan à [-1,1] : arc cos (-x) = pi - arc cos (x)

résoudre l'équation : arc tan (x) = 2arc tan ( 1/2) - arc tan ( 1/4)

Merci d'avance si quelqu'un trouve quelque chose

Posté par
Ksilverre : problème en math 19-02-06 à 17:25

salut !

as tu essayé de prendre le cosinus des deux membres de l'equation pour la 1er et la tangente pour la 2e ?

par exemple pour la première

cos(Pi-arccos(x)) = -(cos(arccos(x)) = -x

et cos(arc cos(-x) ) = -x

arc cos(-x) et Pi- arc cos(x) sont compris entre 0 et Pi, leur cosinus sont egaux donc ils sont egaux...


je te laisse essayé cette methode pour le 2e

Posté par
lyonnaisre : problème en math 19-02-06 à 17:27

salut :

Si tu ne vois pas avec les formules de trigo, tu peux tjrs faire comme ceci :

Soit :

\rm f : \{[-1,1] \longrightarrow \mathbb{R} \\ x \longrightarrow f(x) = arccos(-x)+arccos(x)

On a :

f est continue sur [-1,1] comme somme de fonctions continues
f est dérivable sur ]-1,1[

\rm \forall x\in ]-1,1[ , f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.(-1) -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0

donc f est constante sur [-1,1] et :

\rm \forall x\in ]-1,1[, f(x) = f(0) = arccos(-0)+arccos(0) = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = \pi

CQFD !

A+
romain

Posté par
lyonnaisre : problème en math 19-02-06 à 17:37

oups, il faut juste modifier ma dernière ligne :

\rm \forall x\in [-1,1], f(x) = f(0) = arccos(-0)+arccos(0) = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2} = \pi

mais la méthode de Ksilver est celle qu'il faut appliquer ici

Au fait, je vois que tu es nouveau/nouvelle , donc pour une prochaine fois :

[faq]bontitre[/faq]

++
romain

Posté par lio68 (invité)problèmes avec la trigonomètrie 19-02-06 à 20:21

merci beaucoup a tous les deux pour vos réponses et je vais lire la règle parcqe que je suis nouveau ici .

a++  salu

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème en math 20-02-06 à 06:00

Bonjour,

Résoudre l'équation : arctan (x) = 2.arctan(1/2) - arctan (1/4)

Propriété 1
3$\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\varepsilon\pi
avec 3$\varepsilon=\{{0\quad\textrm{si}\quad xy<1\\1\quad\textrm{si}\quad xy>1\quad\textrm{et}\quad x,y\ge 0\\-1\quad\textrm{si}\quad xy>1\quad\textrm{et}\quad x,y\le 0}

En prenant x=y, il vient :

Propriété 2
3$2\arctan x=\arctan\frac{2x}{1-x^2}+\varepsilon\pi
avec 3$\varepsilon=\{{-1\quad\textrm{si}\quad x<-1\\0\quad\textrm{si}\quad -1<x<1\\1\quad\textrm{si}\quad x>1}

Ceci étant rappelé...

3$\arctan x = 2\arctan\frac{1}{2}-\arctan\frac{1}{4}
(on applique la propriété 2)
3$\Longleftrightarrow \arctan x = \arctan\frac{4}{3}-\arctan\frac{1}{4}
3$\Longleftrightarrow \arctan x = \arctan\frac{4}{3}+\arctan\left(-\frac{1}{4}\right)
(on applique la propriété 1)
3$\Longleftrightarrow \arctan x = \arctan\frac{13}{16}
3$\Longleftrightarrow x = \frac{13}{16}

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par lio68 (invité)re : problème en math 21-02-06 à 15:52

merci beaucoup pour l'aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème en math 21-02-06 à 15:57

Je t'en prie.

Posté par lio68 (invité)re : problème en math 21-02-06 à 16:48

j'ai encore une petite question , je ne suis pas arrivé à prouver que : 2Arctan (1/2) = Arctan (4/3) .
J'ai penser à prendre la tangente de chaque membre mais ça ne va pas et je n'ai pas trouver d'angle correspondant à  arctan (1/2) et arctan(4/3) .

Posté par lio68 (invité)re : problème en math 21-02-06 à 16:48

merci  

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème en math 21-02-06 à 16:50

Pour ma part, j'ai utilisé la propriété 2 ci-dessus.
Sinon, tu peux également prendre la tangente de chaque membre et utiliser :
tan(2x)=2*tan(x)/(1-tan^2(x)), non ?

Posté par lio68 (invité)re : problème en math 21-02-06 à 17:03

Ah ba oui j'avais pas penser à ça , merci  

Posté par lio68 (invité)re : problème en math 21-02-06 à 17:26

j'ai encore une question : comment étudier la périodicité de : f(x) = arcsin(sin(x)) ? est-ce que cela veut dire de vérifier comment f(x) varie ? et c'est juste si je dis que f(x) est définie sur [-pi / 2 ; pi / 2 ]  ?    merci

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème en math 22-02-06 à 04:04

Bonjour,

f me semble définie sur R et de période 2pi.

Nicolas


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