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probleme en topologie
bonjour tous le monde
Voila j'ai un peu de mal à répondre à deux questions de topologie et j'aurais vraiment besoin d'aide le plus vite possible c'est pas la panique mais presque lol
soit (X,d) un espace métrique:
1/ soit (An)n une suite décroissante de compacts de X et f: X -> X une fonction continue. A t-on l'égalité:
f(intersection (An))= intersection (f (An))
J'ai réussi (je pense) a montrer l'inclusion directe c plus pour l'inclusion indirecte que j'ai du mal.
2/ Soit A une partie compacte de X et D un sous-ensemble de A dense dans A, montrer que pour tout k>0 il existe une partie finie J de D telle que
A est inclus dans Union(B[x,k]) avec x appartenant à J
là par contre je n'ai aucune idée
voila donc si quelqu'un a une idée qu'il n'hésite surtout pas!
merci
a+
Pour le 1) l'inclusion directe n'utilise d'ailleurs aucune propriété.
Réciproquement si z est dans l'intersection des f(An)
z= f(a_n) où a_n est dans An donc dans A0 il existe une sous suite de a_n qui converge dans A0 et...je te laisse continuer.
lolo
Bonjour didicool34
1) Montrons que f(
An)=f(An)
Preuve de l'inclusion gauche-droite :
Soit y un élément de f(An)
alors il existe un x élément de An tel que y=f(x)
Pour tout n, x est dans An, donc pour tout n, y=f(x) est dans f(An), d'où y=f(x) est dans f(An).
D'où l'inclusion souhaitée.
Preuve de l'inclusion droite-gauche :
Soit y un élément de f(An), alors pour tout n, il existe xn un élément de An tel que y=f(xn).
Ainsi, la suite (xn) est suite du compact A0 (car la suite de compacts est décroissante).
On en déduit qu'il existe une extraction 
telle que (x(n)) converge vers un certain x, un élément de A0.
On a donc y=f(x(n)) pour tout n, donc en passant à la limite, on a par continuité de f, y=f(x).
Il suffit alors de montrer que x est dans An
Considérons p un entier naturel quelconque. Montrons que x est dans Ap
comme est strictement croissante et qu'elle ne prend que des valeurs enières, alors elle elle tend vers +
et il existe un entier n0, tel que pour tout n
n0, (n)p. Ainsi, comme la suite de compacts est décroissante, alors on a pour tout n supérieur à n0, A(n)
Ap. Ainsi, comme (x(n)) converge et que Ap est fermé (car compact), alors x est dans Ap, d'où le résultat.
2)Avant de te donner ma méthode pur cette question, je voulais savoir (même si tu es en sup) si tu savais ce qu'était la propriété de Borel-Lebesgue.
Dans ce cas, c'est plus ou moins immédiat.
Kaiser
Bonjour didicool34;
1)
la suite est une suite d'éléments du compact
elle admet donc au moins une valeur d'adhérence
soit alors
une application strictement croissante telle que
comme
est continue en
on a aussi
c'est à dire
il suffit maintenant pour conclure de voir que
en effet pour tout
la suite
est une suite d'éléments de
qui est fermé (puisque compact) donc contient la limite de la suite
qui n'est autre que
.
2)Soit comme
est dense dans
pour tout
on a que
et donc que
ce qui veut dire que
et ainsi les
est un recouvrement d'ouverts du compact
il admet donc un sous recouvrement fini de
c'est à dire qu'il existe
partie finie de
telle que
.
Sauf erreurs bien entendu 
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