Bonjour à tous,
Voilà un bon moment que je bloque sur un exercice qui me semble basique d'équation différentielle,
voici le sujet :
Une colonie de 2000 bactérie est placée dans une enceinte close dont le milieu nutritif est renouvelé
en permanence. on admet que l'évolution en fonction du temps t en heure (t > 0) du nombre d'individus N(t) de
cette colonie suit l'équation différentielle (E) : N(t) = 3N(t)−0, 005(N(t))^2

Pour déterminer N(t), on se propose de remplacer (E) par une équation plus simple puis de la résoudre.
1. On suppose que la fonction N ne s'annule pas sur [0;+∞[ et on définit sur [0;+∞[ la fonction g par g (t) =1/N(t)
Déterminer g'(t).

2. Montrer que N est solution de (E) si, et seulement si, g est solution de (E') : y' = −3y +0, 005.

3. Résoudre (E') puis résoudre (E).
a. Déterminer la solution de (E) vérifiant la condition initiale indiquée dans l'énoncé.
b.Calculer le nombre de bactéries présentes au bout de deux heures. Arrondir à l'unité



Question 1) je trouve g'(t) = -N'(t)/(N(t))^2 = > -3N(t) - 0.005 (N(t))^2 / (N(t))^2.

C'est à la question 2) que je bloque (déjà), nous n'avons fait qu'un seul exercice avec ce type de question (montrer que A est solution de E ssi B est solution de E') et je n'arrive pas a reporter la même méthode...
J'ai essayé ça : Si N est solution de (E) alors pour tout x de I : N'(t) = 3N(t) - 0.005 (N(t))^2
Or N et g sont dérivables, donc g' = 3g - 0.005g^2
=> -N/N^2 = 3/N - 0.005*1/N^2 (j'ai enlevé les (t) pour une lecture plus lisible).
=> -N = 3N - 0.005 ... et la je coince, sûrement que je suis mal parti mais je ne vois pas du tout comment faire...

Pour les autres questions, je crois que les solutions seront de la forme ke^ax + g(x) mais j'ai du mal à le démontrer encore..
Merci d'avance à ceux qui prendront le temps de me lire, et encore plus à me répondre !
Bonne soirée