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Probleme Espaces vect.
Bonsoir, j'ai un probleme avec cet exercice d'espaces vectoriels, si quelqu'un peut m'aider...
Merci d'avance.
Enoncé:
Soient n
2 un entier naturel. E=Mn,1(
) l'espace vectoriel des vecteurs colonnes de taille n, et A 
Mn() une matrice carrée de taille n non inversible. Pour tout réel 
, on pose:
E={X E |AX = X}
1. Montrer que E est un sous espace vectoriel de E.
2.L'ensemble des pour lesquels E n'est pas réduit au vecteur null peut-il être vide?
3.Soient 1 et 2 deux réels distincts. Montrer que E1
E2 est réduit au vecteur null.
4. on se place dans le cas où n=3, et on considère la matrice
A= (111
111
111)
a. calculer AX pour X =(1 X=(-1 et X= (-1
1 1 0
1) 0) 1)
b. Vérifier que l'ensemble des pour lesquelles E n'est pas réduit au vecteur null est [0,3].
Bonsoir justine87
1) Il suffit de remarquer que c'est le noyau d'une certaine application linéaire.
2) Regarde pour .
3) Quelle égalités sont vérifiées par un élément de l'intersection.
Kaiser
ne faut-il pas prouver que l'ensemble est non vide, et qu'il est stable par une loi ???
En fait, généralement, on montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel connu mais parfois on peut se passer de ça en montrant que c'est le noyau d'une application linéaire (qui est toujours un espace vectoriel).
.. mais je n'ai pas encore vu ca en cours c'est ça le problème..lol ^^
Bon ben, dans ce cas, il te faut démontrer que c'est un sous-espace vectoriel de E en vérifiant d'une part qu'il est non vide et d'autre part qu'il est stable par combinaison linéaire.
il est non vide car si on prend l'élément neutre, il appartient à E donc il est non vide.
Oh purée j'ai encore mal lu, c'est la 2e fois aujourd'hui, encore désolé...
Tu as raison Justine, toutes mes excuses...
pour la stabilité il faut prendre deux éléments de E et les additioné pour la loi + na?
oki ! merci 
Pour la question 2 je ne comprend pas, on a démontré que E est non vide donc il n'est pas possible qu'il soit vide pour un certain ?
on va donc cherché a posé un système et le résoudre??
C'est l'idée...
Mais le problème c'est que tu pourra pas expliciter clairement ton système, vu que tu ne connais pas les coefficients de ta matrice A.
Ici on te demande juste de prouver l'existence d'un tel
Tu pourras par exemple penser à utiliser le fait que A est non inversible.
En reprenant le cours, l'énoncé peut se traduire par :
"Soit A non inversible, montrer que A admet au moins une valeur propre réelle. "
X sera alors le vecteur propre associé à la valeur propre et X ne sera pas nul.
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