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Niveau Maths sup
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Probleme exo maths sup

Posté par
Andranik
20-10-14 à 18:23

On note E l'ensemble des fonctions f : R→R continues telles que ∀ (x, y) ∈ R2, f(xy) = xf(y) + yf(x).

1. Soit f un élément de E.
a) Déterminer les valeurs de f(0), f(1), f(−1).
b) Démontrer que la fonction f est impaire.

2. On suppose que la fonction E est dérivable sur ]0, +∞[.
a) Montrer que f est solution, sur l'intervalle ]0, +∞[ de l'équation différentielle
ty′(t) − y(t) = kt,
où k est une constante réelle dépendant de f que l'on précisera.
b)Intégrer E
c) En déduire pour tout x, f(x) en fonction de k.

3)soit f un element de E et F sa primitive nulle en 0
a) Montrer que f et F verifient (**):F(x*y)=x²F(y)+0.5xy²f(x)
b)En deduire que f est derivable sur ]0;+∞[
c) Trouver tout les elements de E

4) Soit g l'unique elemet de E tq g'(1)=1
a) verifier que pour tout x>0, g(x)=xln(x). g derivable en 0 ?
b) etudier g puis tracer sa courbe


Je sèche complètement a partir de la question 3)c et ne suis pas sur de mon resultat sur la 3)b

j'aimerais bien un peu d'aide, sur les premieres question j'ai trouvé:
2)a) k= f'(1)
b) l'ensemble des fonction resolvant l'equa dif est x-> x(cst+ kln(|x|) )
c) f(x)= 0en0 et xln(|x|)*f'(1) pour tout x de R*

3)b) j'ai repris le resultat d'avant, isolé f(x), remplacé y par 1 et conclu car F derivable, es-ce juste ?
Merci d'avance

Posté par
franz
re : Probleme exo maths sup 20-10-14 à 23:18

1/a

f(0)=f(0.0)=0f(0)+0f(0) = 0

f(1)=f(1.1)=1f(1)+1f(1) = 2f(1)\Longrightarrow f(1)=0

f(1)=f((-1).(-1))=-1f(-1)-1f(-1) = -2f(-1) = 0 \Longrightarrow f(-1)=0


1/b

\forall x \in \R\qquad f(-x)=f((-1).x)=-f(x)+xf(1) = -f(x)  donc f est impaire

Posté par
franz
re : Probleme exo maths sup 21-10-14 à 00:00

2/a

En dérivant l'expression f(xt)=xf(t)+tf(x) par rapport à x, on obtient

\forall (x,t)\in(\R^*_+)^2\qquad tf'(xt) = f(t)+tf'(x)

En x=1, on obtient l'expression

\forall t\in\R^*_+\qquad tf'(t) = f(t)+tf'(1)     CQFD

\red k = f'(1)


2/b

Solution de l'équation homogène :
y(t) = C. t


Solution particulière :
y_0(t) = C(t). t
y_0'(t) = C'(t). t + C(t)
t y_0'(t)- y_0(t) = C'(t). t^2 + C(t).t - C(t).t = C'(t).t^2 = t.f'(1)

C'(t)= \dfrac {k}t
C(t)= k\ln(t) + C_2


\red y(t)= k\,t\,\ln t \; + \; C_2.t


2/c

f est la solution de \mathcal E vérifiant y(1)=0 donc  C_2 = 0

\red f(t)= k\,t\,\ln t

On a bien
f'(t)=k \left( \ln t + \dfrac x x\right) = k \left( \ln t + 1)
f'(1)=k

f(1)=0
\lim_{t\to 0}f(t)=0
f(xy)-xf(y)-yf(x)=k\,xy\,\ln (xy)-x(k\,y\,\ln y)-y(k\,x\,\ln x) = k x y(\ln (xy)-\ln x -\ln y) = 0

Posté par
franz
re : Probleme exo maths sup 21-10-14 à 00:06

Comme f est impaire       \begin{array}{ccccc}f& : & \R & \longrightarrow & \R\\ & & x\neq 0  & \mapsto & k x \ln |x| \\ & & 0 & \mapsto & 0 \end{array}

Posté par
franz
re : Probleme exo maths sup 21-10-14 à 00:20

3/a

En intégrant l'expression f(xy)=xf(y)+yf(x) par rapport à y, on obtient

\frac 1 x F(xy)= x F(y) + \frac {y^2} 2 f(x)  soit

F(xy)= x^2 F(y) + \frac 1 2 x y^2 f(y)\qquad (**)

3/b
F étant la primitive d'une fonction continue est dérivable.

(**)\Longleftrightarrow f(y)= \dfrac {2(F(xy) - x^2 F(y))} { x y^2 }

donc f est nécessairement dérivable sur ]0,\+\infty[ comme somme de fonctions dérivables sur \R^*_+

3/c
d'après le 2/c :

f\in \mathcal{E} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{array}{ccccc}f& : & \R & \longrightarrow & \R\\ & & x\neq 0  & \mapsto & k x \ln |x| \\ & & 0 & \mapsto & 0 \end{array}

Posté par
Andranik
re : Probleme exo maths sup 21-10-14 à 10:34

Merci de la reponse si rapide, j'avais la réponse sous les yeux mais je pensais chercher toutes les expressions possible, par analyse synthèse ... qui sont une infinité. Je vais alors essayer de finir les dernières questions.

Posté par
franz
re : Probleme exo maths sup 21-10-14 à 13:40

avec plaisir



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