On note E l'ensemble des fonctions f : R→R continues telles que ∀ (x, y) ∈ R2, f(xy) = xf(y) + yf(x).
1. Soit f un élément de E.
a) Déterminer les valeurs de f(0), f(1), f(−1).
b) Démontrer que la fonction f est impaire.
2. On suppose que la fonction E est dérivable sur ]0, +∞[.
a) Montrer que f est solution, sur l'intervalle ]0, +∞[ de l'équation différentielle
ty′(t) − y(t) = kt,
où k est une constante réelle dépendant de f que l'on précisera.
b)Intégrer E
c) En déduire pour tout x, f(x) en fonction de k.
3)soit f un element de E et F sa primitive nulle en 0
a) Montrer que f et F verifient (**):F(x*y)=x²F(y)+0.5xy²f(x)
b)En deduire que f est derivable sur ]0;+∞[
c) Trouver tout les elements de E
4) Soit g l'unique elemet de E tq g'(1)=1
a) verifier que pour tout x>0, g(x)=xln(x). g derivable en 0 ?
b) etudier g puis tracer sa courbe
Je sèche complètement a partir de la question 3)c et ne suis pas sur de mon resultat sur la 3)b
j'aimerais bien un peu d'aide, sur les premieres question j'ai trouvé:
2)a) k= f'(1)
b) l'ensemble des fonction resolvant l'equa dif est x-> x(cst+ kln(|x|) )
c) f(x)= 0en0 et xln(|x|)*f'(1) pour tout x de R*
3)b) j'ai repris le resultat d'avant, isolé f(x), remplacé y par 1 et conclu car F derivable, es-ce juste ?
Merci d'avance
2/a
En dérivant l'expression par rapport à
, on obtient
En , on obtient l'expression
CQFD
2/b
Solution de l'équation homogène :
Solution particulière :
2/c
est la solution de
vérifiant
donc
On a bien
3/a
En intégrant l'expression par rapport à y, on obtient
soit
3/b
étant la primitive d'une fonction continue est dérivable.
donc est nécessairement dérivable sur
comme somme de fonctions dérivables sur
3/c
d'après le 2/c :
Merci de la reponse si rapide, j'avais la réponse sous les yeux mais je pensais chercher toutes les expressions possible, par analyse synthèse ... qui sont une infinité. Je vais alors essayer de finir les dernières questions.
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