Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Problème fonction Arc cos

Posté par alex77 (invité) 02-10-05 à 19:22

Bonjour a tous, je sais que j'attends beaucoup de vous et de vos réponses mais je me trouve néanmoins dans une impasse dont seuls vos conseils avisés sauraient me sortir...

Voila, soit f(x)= Arccos (2x/1+x²), je dois trouver f'(x) et démontrer que f'(x) = E(x)/1+x² est une fonction constante par morceaux...j'ai un peu de mal et tout porte a croire que je me suis trompé sur la dérivée...en fait, pour moi elle est juste mais je n'arrive pas pour la constance par morceaux...

En attendant vos réponses et en vous remerciant tous par avance,

axel

Posté par
piepalmre : Problème fonction Arc cos 02-10-05 à 20:06

Arccosu est défini pour u compris entre -1 et 1. Ici u=2x/(1+x^2)
u'=2(1-x^2)/(1+x^2)^2
f(x) sera donc défini pour x de -inf à -1, et de 1 à +inf
(Arccosu)'=u'(1-u^2)^(-1/2) avec
1+u^2=(1-x^2)^2/(1+x^2)^2
donc (Arccosu)'=2/(1+x^2) qui est bien de la forme cste/(1+x^2)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Problème fonction Arc cos 02-10-05 à 20:29

Bonjour alex77;
(*)Commençons par remarquer que 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\\frac{2x}{1+x^2}\in[-1,1]} et 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}-\{-1,1\}\\\frac{2x}{1+x^2}\in]-1,1[} ainsi f est définie continue sur \mathbb{R} et est dérivable sur \mathbb{R}-\{-1,1\}.
(*)3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}-\{-1,1\}\\f'(x)=(\frac{2x}{1+x^2})'\times arccos'(\frac{2x}{1+x^2})=2\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\frac{-1}{sqrt{1-(\frac{2x}{1+x^2})^2}}=2\frac{x^2-1}{1+x^2}\frac{1}{sqrt{(1+x^2)^2-4x^2}}=2\frac{x^2-1}{(1+x^2)}\frac{1}{|x^2-1|}}
ainsi si on note 3$\fbox{E(x)=2\frac{x^2-1}{|x^2-1|}} on a 3$\fbox{E(x)=\{{-2\hspace{5}si\hspace{5}x\in]-1,1[\\2\hspace{5}si\hspace{5}x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[} c'est donc bien une fonction constante par morçeaux sur ]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[ et on a: 3$\fbox{\forall x\in]-\infty,-1[\cup]1,+\infty[\\f'(x)=\frac{E(x)}{1+x^2}}.

Sauf erreur bien entendu


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !