bonsoir
puisque

f(x)f(y)=f((x+y)/1+xy)

en prenant en particulier x=y=0 =>(x+y)/(1+xy)=0

donc f(0)²=f(0) => f(0)=1 ou f(0)=0

si f(0)=0

donc f(0)f(y)= f(y) => f(y)=0 quelque soit y apparient à R

donc f constante . donc f'(0)=0  or ce n'est pas le cas.

f(0) 0

ainsi f(0)=1

D.

Merci beaucoup disdrometre pour ta réponse,

je n'arrive toujours pas à trouver f(1) et f(-1) ?

(j'ai essayé avec f(1)²= f(1) donc f(1)=1 ou f(1)=0 mais comment montrer qu'une seule de ces valeurs est la bonne?)

Merci encore!

ok, c'est résolu en utilisant la condition a=f'(0) est strictement positif

merci!

de rien

Bonjour!

une autre question concernant le même problème:

montrer que :
Quel que soit x appartenant à ]-1,1[ f(x) différe de 0

comment montrer qu'une fonction ne s'annule pas sur un intervalle donné?

soit x appartenant à ]-1;1[ , ainsi -x appartient lui aussi à cette intervalle.

donc -x²   -1

ainsi 1+x² n'est pas nul, on peut alors appliquer la formule
quel que soit le couple(x,y) de R², tel que 1+xy est non nul, on a f(x)f(y)=f((x+y)/1+xy)
avec y=-x


on en déduit que f(x) n'est pas nul.

D.