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Niveau autre
Problème ouvert : probabilités avec un dé pyramidal
Posté par jamo 
Bonjour,
je vous soumets un petit problème dont je ne possède pas la solution, d'où l'appellation "problème ouvert". 
Toute idée ou contribution est bonne à prendre ...
Je connais ce problème depuis assez longtemps, et je viens de retomber dessus dans le dernier numéro du magazine Tangente (n°27 = 128), dans la rubrique des problèmes soumis par les lecteurs.
Dans un premier temps, je vais donc reprendre l'énoncé et le début de solution tels qu'ils sont donnés dans le magazine, puis j'apporterai quelques commentaires.
Enoncé (accompagné de la figure de la pyramide)
On considère un dé pyramidal à (n+1) faces, la base étant un polygone régulier à n côtés et le sommet étant à la verticale du centre de la base.
On veut choisir la hauteur h de la pyramide pour que la probabilité de tomber sur chacune des faces soit la même.
1. Montrer que le problème a toujours une solution.
2. Question ouverte : déterminez cette solution pour n>3.
Solution (accompagnée du graphique)
Si l'on considère les probabilités respectives pour que le dé tombe sur sa base ou sur une face latérale et que l'on représente ces probabilités variant pour un n fixé en fonction de h/n, on obtient une représentation graphique qui ressemble à la suivante.
Les deux courbes étant continues, elles sont sécantes en un point qui correspond à une solution au problème pour cette valeur de n.
Et maintenant, mes commentaires
Tout d'abord, il est clair que n>3. Le cas n=3 possède une solution bien connue : le tétraèdre régulier.
Au niveau du graphique, je ne vois pas trop l'intérêt de mettre h/n en abscisse. Etant donné qu'il est construit pour n fixé, on aurait pu se contenter de h en abscisse, ça ne changeait rien à mon avis.
Examinons la probabilité de la base polygonale : pour h=0 (ou plutôt pour h qui tend vers 0), on est dans le cas d'une pyramide "plate", un peu comme une "pièce" de monnaie : la probabilité de tomber sur la base est donc bien égale à 1/2. Et quand la hauteur augmente, quand elle tend vers l'infini, la probabilité de tomber sur la base tend bien vers 0.
Examinons la probabilité des faces latérales : pour h qui tend vers 0, nous sommes dans le cas de la pyramide "plate", dont une face (1 chance sur 2) est constituée des n faces latérales : on a bien une probabilité de 1/2n pour chaque face latérale.
Et quand h tend vers l'infini, étant donne qu'on ne tombe plus sur la base, il reste les n faces latérales, donc une probabilité de 1/n pour chacune d'entre elles.
Bon, mais maintenant : comment calculer cette hauteur ? Quelqu'un a-t-il des idées pour aborder ce problème ?
Etude de l'équilibre de la pyramide? Que choisir comme paramètres ?
Bonjour jamo
J'ai peut-être une idée. Cela mène à un résultat (j'obtiens une formule explicite de h en fonction de n) mais je n'ai pas vraiment de démonstration et même pire : je ne sais pas si mon raisonnement peut tenir la route (bref, c'est plus avec les mains qu'autre chose).
En gros, l'idée c'est de se dire que la probabilité de tomber sur une face est la même si le dé est bien équilibré et c'est là où je donne une "caractérisation" de bien équilibré : il faut que les centres de gravité respectifs de chaque face soient équidistants du centre de gravité du dé. Ce raisonnement te paraît-il raisonnable ou alors est-il à jeter à la poubelle ? 
Finalement, avec ce raisonnement, je trouve (je précise que j'ai considéré que le polygone régulier était inscrit dans un cercle de rayon 1).
Kaiser
Bonjour,
voici une ébauche de solution
Soit la figure schématisée d'un dé pyramidal à n côtés et de hauteur SH.
Pour une pyramide droite, la hauteur SH est perpendiculaire à la base polygonale en H. On suppose la matière homogène sans cavités. Le centre de gravité d'une pyramide est situé au 1/4 de SH à partir de la base.
La géométrie des masses nous dit que pour un corps quelconque, on peut considérer la masse de ce corps comme concentrée en un point au centre de gravité.
Si l'on suspend le dé par un fil attaché au centre de gravité, sa position est parfaitement équilibrée; il est inerte.
On peut considérer que l'influence de chaque face par rapport au centre de gravité est donnée par la masse comprise entre la face et le centre de gravité. Soit pour la face latérale SAB, le volume GSAB.
Pour la base, ce sera le volume GHAB x n.
1°) pour la face latérale, Vol(SGAB)= Vol(SHAB)-Vol(GHAB)
soit Vol(SGAB)= S triangle(HAB)xSH/3- S triangle(HAB)x1/4xSH/3
Vol(SGAB)= S triangle(HAB)x SH/4
2°) pour la base, le volume est Vol(nGAB)= S triangle(HAB)x n x SH/12
Pour que chaque face soit équivalente, on doit avoir n=3
Il n'y a pas d'autre solution
De plus, si n était supérieur à 3, le nombre de sommets d'une face différentie la face latérale à 3 sommets de la base à n sommets. Il n'y a donc pas symétrie entre les faces latérales et la base pour les rebondissements dus aux sommets quand on lance le dé. Il y aura beaucoup plus de chances que le dé tombe sur une face latérale plutôt que sur sa base.
Bien à vous
[/b]
On m'a envoyé une réponse pour ce problème par e-mail (je crois bien que c'est castoriginal).
Alors comme le principe du forum est d'en faire profiter tout le monde, je mets les images ici.
Bonjour
Pour ma part, il me semble que l'hypothèse la plus raisonnable serait que l'angle solide sous lequel le centre de gravité voit chacune des faces est le même.
En effet, si on suppose qu'au moment où le dé tombe, chaque orientation est équiprobable, on peut considérer que la face sur laquelle il va tomber est celle traversée par la verticale descendante issue du centre de gravité, d'où la nécessité que tous les angles solides soient les mêmes.
Par contre je n'ai pas encore fait les calculs, mais j'essayerai de les faire cet après-midi.
Il resterait encore à voir si les rebonds peuvent modifier cette probabilité.
Fractal 
Voici un nouveau message de castoriginal, il y avait visiblement une erreur dans ce qu'il avait fait avant ...
