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probleme pour finir...
Bonjour, je rencontre deux petits problemes : il y a deux exos où je n'arrive pas à conclure, comment faire?JE dois trouver toutes les fonctions f répondant à la condition :
f est continue sur R et pour tout (x,y) de R*R, f[(x+y)/2] = 1/2[f(x) + f(y)].
J'ai montré que une fonction affine est solution .
J'ai montré que si f(0) = f(1) = 0 , alors f=0
J'ai montr'é que il existe (a,b) de R², (le couple (0,0) tel que g(x) = f(x) - ax-b vérifie C et g(0) = g(1) = 0.
Mais je n'arrive pas à trouver toutes les fonctions f..
Ensuite j'ai la suite u(n) = 1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/n. J'ai montré que u(n) -->+infnini.
Jai montré que : les suites y(n) = u(n) - ln(n) et z(n) = y(n) - 1/n sont adjacentes.
J'ai montré (mais moins sur ) que u(n) a pour équivalent ln n.
(en disant u(n) - ln(n) tend vers a (question précédente)
d'ou [u(n) - ln(n) ] / (ln n) tend vers 0 donc un/ln(n) -1 tend vers 0 d'ou le résultat.
Mais la ou je suis bloqué :
v(n) = Somme de k=(n+1) à (2n) de 1/k
J'ai vu que v(n) = u(2n) - u(n) qui est supérieur à 1/2 Mais je ne sais pas prouver que v(n) converge et je ne connais pas sa limite.
Pourriez vous m"éclairer. Je vous remercie d'avance de votre aide.
Ethan
bonjour
en posant y=0 => f(x/2)=(1/2)f(x)
pour x=0 => f(0)=f(0)/2 => f(0)=0
Philoux
f[(x+y)/2] = 1/2[f(x) + f(y)].
si y=-x => f(0) = ( f(x)+f(-x) )/2
or f(0)=0 => f(-x)=-f(x) => f impaire
Philoux
Salut,
Tu as (presque) terminé...
Si g(x) = f(x) -ax - b est solution de C et vérifie g(0)=g(1) = 0, alors... g est nulle (tu l'as montré).
Donc f = ax+b
Plaf. et réciproquement toutes les fonctions affines conviennent, tu l'as montré également...
A+
biondo
Salut,
Tu as (presque) terminé...
Si g(x) = f(x) -ax - b est solution de C et vérifie g(0)=g(1) = 0, alors... g est nulle (tu l'as montré).
Donc f = ax+b
J'ai démontré que si g(x) = f(x) -ax-b est solution alors a et b sont nuls et g(x) = f(x) donc g est nulle (car f est nulle)
mlais f est nulle ca veut pas dire f(x) = ax+b non?
? Merci dd'avance (et je ne suis aps d'accord avec philou car justement f(o) différent de 0
(f(x/2)) = 1/2(f(x) + f(0))...
donc je vois que c'est un peu le style de ce que dit biondo mais mettre ne forme est délicat :
Soif f une solution... g est solution
peut on dire donc g-f est solution enfin je ne sais pas trop ...comment raisonner et rédiger
la condition suffiosante est facile bien entendu..
a et pour l'exo de suites ai je le droit de fire que si
u(n) equivalent à ln n
alors u (2n) équivalent à ln(2n)
Donc u(2n)-u(n) équivalent à ln(2n)-ln(n)=ln2?
(enfin je suis surtout bloqué sur l'exo de fonctions..
Pour l'exo de l'équation fonctionnelle, comme l'a dit biondo, tu a quasiment fini:
tu as déterminé a et b tels que la fonction g (g(x)=f(x)-ax-b) soit également une solution de C, qui s'annule en 0 et 1 donc g est identiquement nulle (c'était la première question, et ce n'est pas parce que maintenant la fonction s'appelle g et non f qu'il faut se laisser embrouiller par ça!) donc si g(x)=0, f(x)=ax+b
Pour l'exo de la suite, je ne pense pas que tu ait démontré que yn=un-lnn tende vers a: tu as montré que les suites yn et zn sont adjacentes (leur écart tend vers zéro) mais il faut encore démontrer (peut-être l'as-tu fait, mais je ne le vois pas clairement) que yn est décroissante et zn croissante (pour cela, il faut découper l'intégrale de lnx en tronçons entre k et k+1 et encadrer l'intégrale entre 1/(k+1) et 1/k
Ayant justifié que un est compris entre lnn et lnn-1/n, alors
ln(2n)-1/2n-lnn<u(2n)-u(n)<ln(2n)-lnn+1/n donc u(2n)-u(n) tend vers ln2
piepalm, n'y atil pas d'autres méthodes car nous n'avon,s absolumùent pas travaillé sur les intégrales donc votre démonstration me semble trop compliquée? 
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