Ha, les Dl et les ordres... Un pur bonheur.

Ton cours a raison, et ton exercice aussi.

Cours: h=f.g admet un DL a l'ordre min(n,p). Il faut comprendre: "au moins a l'ordre min(n,p)".
En effet, par exemple en prenant f(x) = x, et g(x) = x  on peut obtenir h = f.g a l'ordre 2, assez facielement. Mais dans le cas general, le cours te dit qu'on a un DL a l'ordre 1 au moins...

Exo:
f(x) = x(1+...)
g(x) = 2x(1+...)

Donc h(x) = 2x^2.(1+...)

Si les 1+... de f et g sont tous deux a l'ordre n, le 1+... qui provient de leur produit sera a l'ordre n egalement (et la, pour le coup, exactement a l'ordre n). Donc ici, on est a l'ordre 2. Et du coup, le DL de h est a l'ordre 4 (2, plus 2 qui viennet de x^2).



C'est d'ailleurs LA methode (la seule qui marche efficacement) quand on tombe sur un exo du type: trouver le DL a l'ordre 12 de la fonction f(x) = ... et un truc horrible a base de produits et quotients.
J'ecris tous les morceaux sous la forme x^a(1+...) ou a est le degre du premier terme non nul de chaque DL de chacun des morceaux. Attention, j'ecris vraiment "trois points de suspension". Je me fous de ce qu'il y a derriere pour le moment. Ce qui m'interesse, c'est d'avoir (1+...) pour pouvoir les multiplier ensemble sans changer l'ordre du DL...

On se retrouve donc avec une expression finale du type x^r.(1+...)

Et on remonte le fil pour trouver l'ordre de chacun des DL.

Exemple (simple), parce que comme ca c'est pas top:

f(x) = (exp(x) - 1 - x)(sinx)^2/(cosx - 1)^2
a l'ordre 8 en 0

Premier reflexe: "oh ben mince, je vais essayer avec les DL tous a l'ordre 8, et puis on verra bien, si ca va pas je rajouterai un ou deux au feeling"

deuxieme reflexe:

exp(x) - 1-x = x^2/2.(1+...)
sinx = x(1+...) donc (sinx)^2 = x^2 (1+...)
cosx - 1 = -x^2/2.(1+...) donc (cosx-1)^2 = x^4/4.(1+...)

et du coup

f(x) = x^4/2.(1+...) / (x^4/4(1+..))
f(x) = 1/2.(1+...)


donc pour avoir f a l'ordre 8 en 0, il faut que chacun des 1+... soit a l'ordre 8.

Donc expx-1-x a l'ordre 6 (car on a x^2 en facteur)
sinx a l'ordre 9
cosx-1 a l'ordre 10

(sauf erreur bete toujours possible)
pour les calculs, bon, ceux qui ont du courage....


Ca va?

A+
biondo

Désolé, j'ai fait un copier-coller hasardeux. Il faut lire:
f(x)= = eps (x)
    g (x) = 2x + eps (x)   (eps = epsilon)


J'essaie de rédiger l'exercice pour h=f/g . Je ne trouve pas le bon résultat et je ne comprends pas pourquoi.

f(x)/g(x)= =

(

= 1/2.  (
= 1/2 . 1/(1+u)
avec u=

on obtient
1/(1+u)=1- u + u^2 = 1 - () +(x/2 + )^2 = 1
=

f(x)/g(x)= 1/2 ()
=

Je n'avais pas lu ton intervention. Je m'y penche.

Avant toute chose, je crois que j'ai besoin de me remettre les idées au clair sur les DL. Mon prof n'a jamais vraiment pris le temps de nous expliquer ce que sont les DL.
Je sais qu'on dit que f admet un DL en xo à l'ordre n si on a
f(x)= ao+ a1(x-xo)+.... an(x-xo)^n + (x-xo)^n eps (x-xo)    
Première question: je cois comprendre que ça n'a de sens (comme le nom "DL" l'indique) que si on parle de la notion de limite, et donc quand x tend vers xo. Donc cette manière d'exprimer f(x) sous entend qu'on prend x tendant vers xo. Est-ce que c'est exact?
D'où tous les trucs sympas du genre f continue en xo si elle admet un DL à l'ordre 0 en xo,  et elle est dérivable en xo si elle admet un DL à l'ordre 1 en xo.

Par contre ce que je ne comprends pas, c'est ce qui fait qu'on peut dire à un moment qu'une fonction n'admet pas de DL à un ordre plus élevé. Peux-tu me donner un exemple de fonction dont je puisse "palper" cet ordre maximum. J'aimerais comprendre cette notion de précision du DL.


Il faut comprendre: "au moins a l'ordre min(n,p)". Ok ça c'est plus clair.

Si les 1+... de f et g sont tous deux a l'ordre n, le 1+... qui provient de leur produit sera a l'ordre n egalement (et la, pour le coup, exactement a l'ordre n). Donc ici, on est a l'ordre 2. Et du coup, le DL de h est a l'ordre 4 (2, plus 2 qui viennet de x^2). Ca aussi.


Pour le reste j'ai besoin d'autres précisions.

(1+ x^2 + x^3+ x^3 eps(x)) (1+ 2x^2 + 2x^3+ x^4+ x^4 eps (x) )=...
Comment est ce que je connais la précision du DL, si d'après mon cours, le DL est d'ordre au moins égal à 3. Comment est ce que je sais quand je peux avoir une meilleure précision ou pas? Est ce que c'est ce que tu m'as expliqué? Du moment où j'ai deux expression en facteur de type (1+...), je sais que la meilleure précision du DL est à l'ordre min(n,p)  (avec n et p les ordres des deux DL).

Le reste sera plus facile à comprendre je pense quand j'aurais bien les idées claires sur tout ça.

Developpement "limite":

effectivement, il y a une notion de limite la dedans. C'est en fait lie a la fonciton eps(x), qui tend vers 0 lorsque x tend vers x0. Un DL est valable a un certain ordre, et au voisinage d'un certain point. Si je change de point, le DL change aussi.


L'ordre max du DL
Difficile, ca...

f(x) = x.ln(x)
f admet un DL d'ordre 0 en 0.
f n'admet pas de DL a l'ordre 1 en 0.



La precision du DL

Quand j'ai f=(1+...) a l'ordre n et g=(1+...) a l'ordre p, alors oui, le produit fg des deux est au mieux a l'ordre min(n,p).

Ca se voit intuitivement. Si on suppose que n plus [i][/i]petit que p, on voit bien qu'en rajoutant un terme a l'ordre n+1 dans le DL de f, il va "faire des petits" a l'ordre n+1 dans le DL final. Et donc si je ne l'ai pas, je ne suis pas capable de faire le DL du produit a l'ordre n+1. Non? (c'est des polynomes, finalement...).



OK?

f(x) = x.ln(x)
f admet un DL d'ordre 0 en 0.

Bein comment?
puisque f(0) n'existe pas? Comment tu fais?

Ok c'est plus clair.
Pourrais-tu aussi jeter un oeil sur le quotient f/g que j'ai rédigé plus haut? Je ne comprends pas où est mon erreur.

J'ai oublié de donner la réponse (de f/g) qu'on me propose.

"Le bon développement est : On simplifie par x d'abord.
x - 2x^2 + x^2e (x)

à l'ordre 2."

??

Eh bien la reponse qu'on te propose est... fausse.

C'est toi qui as raison (d'apres mes propres calculs, et ceux de WIMS aussi).

Un moment j'ai cru qu'on te donnait g/f au lieu de f/g, mais meme pas.


Comme quoi, les DL, c'est vraiment pas facile.

biondo