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Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre

Posté par jpeeg (invité) 22-02-07 à 21:47

Bonjour,
Depuis quelques jours j'essayes de resoudre un probleme.
Etant donné que je n'y arrive toujours pas, je viens vous demander de l'aide, ou du moins une piste.
Il faut demontrer cette inequation.
Par ou commencer s'il vous plait!

Merci

8$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4....\sqrt{n}}}} < 3
Edit Kaiser

Posté par jpeeg (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:04

\sqrt{2.\sqrt{3.\sqrt{4........\sqrt{n}}}}<3

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:19

par passage au log ca doit se faire sans trop de probleme !

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:30

koike, je n'ai rien trouvé de vraiment interessant!

Posté par nidarf (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:37

Soit u_n votre terme de gauche alors par concavité du log on a en posant \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n \frac1{2^{k-1}}:

\ln(u_n)= \displaystyle\sum_{k=2}^n \frac{\ln(k)}{2^{k-1}}\leq S_n\ln\left(\frac1{S_n}\displaystyle\sum_{k=2}^n \frac{k}{2^{k-1}}\right) \leq S_n\ln\left(\frac1{S_n}\displaystyle\sum_{k=2}^\infty \frac{k}{2^{k-1}}\right) =S_n\ln(3)-S_n\ln(S_n)\leq \ln(3)

car la fonction x\mapsto x\ln(3)-x\ln(x) est croissante sur [0;1] et sa limite en vaut \ln(3).

Sauf erreur...

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:41

En bidouillant un petit peu j'ai ramené ça à :
\frac{\sum_{i=1}^n ln(i!)}{2^{n-1}}<ln3

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:43

bien vu nidarf tu m'as pris de vitesse !

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:58

On doit aussi y arriver en définissant une suite v_navec :
v_0 = \frac{3^2}{2}
v_{n+1} = {v_n}^2 \times \frac {1}{n+2}

Posté par tornado (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 22:59

et en étudiant les valeurs de n pour lesquelle v_n >1

Posté par
Cauchyre : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 23:03

Et en passant à la puissance 2^n enchainée avec une récurrence.

Posté par jpeeg (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 22-02-07 à 23:34

Merci de vous etre interessés a mon probleme.
J'essayerais d'avancer sur ce sujet demain grace a vos indications.
En tout cas ce forum est tres reactif, merci a tous!

Posté par jpeeg (invité)re : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 23-02-07 à 16:10

up!

Finalement, comment peut-on demontrer cette inequation?
Quelqu'un a une idée?
Car avec ce que vous m'avez dit, je ne vois pas comment y arriver.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Probleme simple a comprendre mais dur a resoudre 23-02-07 à 16:25

Bonjour, nidarf l'a fait ci-dessus, non ?


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