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problème simple suite je coince

Posté par delphserinet (invité) 05-04-06 à 13:25

bonjour, je n'arrive pas à trouver une formule générale pour calculer le nième terme d'une suite dans laquelle on ajoute alternativement 7, puis 6 à partir de x0!!

ex: x0= 10
x1= 17 (10+7),
x2=23 (17+6)
x3=30 (23+7)
x4=36 (30+6)
.
.
.
xn= ??

merci à qui peut me répondre!

delphine

Posté par Pti yo (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 13:31

Uo=10
U1=17
U(n+2)=Un+13

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 13:37

Merci pour la réponse, mais dans ta formule pour trouver
U(n) il faudrait déja connaître U(n-2)

Je voudrais savoir si c'est possible d'avoir une formule avec le 1er terme neutre U0.

delphine

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 13:55

C'est une astuce, comme pour les suites alternantes :
On ajoute (-1)^n, que l'on bidouille pour avoir exactement la valeur voulue.

Ici, on obtient par exemple :
u_{n}=u_{n-1}+6+\frac{(-1)^{n+1}+1}{2} pour n\geq1

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 15:43

Bonjour

Je proposerais ceci :

U(n) = 17 + Ent( (n-1)/2 ) + Ent( (n/2) )

En espérant que tu aies vu la partie entière...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 15:44

Bonjour

Je proposerais ceci :

U(n) = 17 + 7*Ent( (n-1)/2 ) + 6*Ent( (n/2) )

En espérant que tu aies vu la partie entière...

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 15:54

On peut aussi proposer :
u_n=u_0+6,5 n+\frac{(-1)^{n+1}+1}{4}

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 15:58

manque des parenthèses ?

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 16:02

Où ça

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 16:09

désolé c'est la forme :

u(n)=u(0)+(26n+1+(-1)^(n+1))/4

Philoux

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:01

Delool merci! en fait je voulais transformer ta 1ere formule avec la forme Un = U0 +... mais je n'y arrivais pas...
philoux merci aussi! vous arrivez au même résultat, par contre j'aimerais bien savoir comment vous avez fait!

j'ai un pb avec une autre formule mais je ne voudrais pas vous lasser je ne sais pas si pour vous cela est amusant ou pas et si vous avez fait cela juste pour me dépanner...

en partant de 10 quelle serait à votre avis la formule pour trouver
7,7,6,7,7,6,7,7,7,6
ex 10+7, 17+7, 24+6, 30+7, 37+7, 44+6, 50+7, ... puis au bout la série des dix additions on recommence avec 7,7,6,7,7,6,7,7,7,6.

cette fois ci je pense que ce sera plus compliqué.
merci encore pour votre aide et si vs pouvez m'aider encore!
delphine

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:24

Re

J'aime bien les parties entières

Je te propose

U(n) = Uo + 7n - Ent(n/3)

Vérifie...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:26

non, y'a une erreur dans la partie entière...

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:36

La méthode :
Je prends (-1)^n. Entre les n pairs et les n impairs, il y a un écart de (1)-(-1)=2. Je divise donc par le nombre qu'il faut pour avoir le bon écart (par 4 ci-dessus, car je veux ajouter 0 ou 1/2). Puis j'ajuste.

Pour le cas général, tu peux prendre P le polynôme interpolateur de Lagrange.
Ici, on prend P tel que :
P(0)=7; P(1)=7; P(2)=6; P(3)=7; P(4)=7; P(5)=6; P(6)=7; P(7)=7; P(8)=7; P(9)=6.
Après, il suffit de poser :
u_n=u_0+67\times Ent\left(\frac{n}{10}\right)+P\left(n-10\times Ent\left(\frac{n}{10}\right)\right)
(je pense que ça marche)

Je pense que Philoux peut trouver quelque chose de plus simple dans ton cas particulier.

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:37

non, j'avais bien recopié...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:38

post croisés avec Delool

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:39

J'aime bien ta méthode avec les (-1)^n, Delool, afin d'éviter les parties entières

Celà donnerait quoi, ici ?

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:53

Ca donnerait :
u_n=u_0+67\times \frac{5}{\pi}\times \arg\left(\e^{\frac{i n \pi}{5}}\right)+P(n-10\times \frac{5}{\pi}\times \arg\left(\e^{\frac{i n \pi}{5}}\right)

où \arg(x) désigne l'argument du nombre complexe x. Il est compris dans l'intervalle [0;2\pi[.

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 17:55



je l'aurais préféré avec des cos(npi)...

Philoux

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 18:15

Delphine : connais-tu la fonction partie entière ?

Si oui :

U(n) = Uo + 7n - Ent(n/3)

Sinon, une fonction avec des (-1)^n serait préférable...

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 18:17

Le problème des cos(npi) est qu'il est difficile de distinguer le cosinus des points C et K par exemple (cf image).

D'un point de vue analytique,
cos(npi/5)=cos(9npi/5).

Il faudrait trouver une astuce pour enlever les cosinus des angles compris dans [pi,2pi[.

problème simple suite je coince

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 18:18

l'utilisation du cos(npi) avait pour objet d'éviter le (-1)^n...

Philoux

Posté par Delool (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 18:22

Dans le (-1)^n, il y a aussi la partie imaginaire :
(-1)^n=cos(n\pi)+i sin(n\pi).
La partie en sinus n'apparaît pas parce qu'elle est nulle pour n\in\mathbb{Z}. Mais lorsque le cycle est supérieur à 2, je ne vois pas comment enlever la partie imaginaire.

Posté par philoux (invité)re : problème simple suite je coince 05-04-06 à 18:27

on ne se comprend pas

plutôt que d'écrire (1+(-1)^n)/2 pour avoir une alternance 0/1 je te proposais cos(npi) pour avoir une alternance -1/1

ainsi :

(1+(-1)^n)/2 = ( 1+cos(npi) )/2 puisque cos(npi)=(-1)^n

Philoux

Posté par delphserinet (invité)ouf! 06-04-06 à 07:10

.Philoux
oui après vérification de ta formule je confirme qu'elle marche et je la trouve très pratique en plus...
.Delool
je ne comprends pas tout ce que tu écris lol
En tout les cas merci à vous deux! J'espère que vous n'êtes pas lassés je reviendrai encore ici si j'ai encore besoin d'aide en espérant que vous serez là...
bises
delphine

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 25-04-06 à 21:45

bonsoir

"" [[en partant de 10 quelle serait à votre avis la formule pour trouver
7,7,6,7,7,6,7,7,7,6
ex 10+7, 17+7, 24+6, 30+7, 37+7, 44+6, 50+7, 57+7, 64+7, 71+6... puis au bout la série des dix additions on recommence avec 7,7,6,7,7,6,7,7,7,6.]] ""
******************************************************

philoux tu proposais la formule:
U(n) = Uo + 7n - Ent(n/3)

je viens de me rendre compte qu'il y a un problème avec U9
U9 = Uo + (7.9) - Ent(9/3)= 10+63-9/3= 70 et ça devrait faire 71  
Le pb est que la dernière partie de la suite est 7,7,7 et non plus 7,7. Visiblement il n'y a que pour U9 que cela ne marche pas... et j'espère que mes calculs sont bons...

Y aurait-il moyen de modifier la formule pour la rendre conforme ?
merci!
delphine

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 08-06-06 à 07:40

à l'aiiiiiide!!
heu tout le monde est parti ?
c'est vraiment important merci
delph

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 07:52

Bonjour,

x_n=\left\{\begin{array}{ll} \\ 10+13\frac{n}{2} & \mathrm{si}\; n\;\mathrm{pair} \\ 17+13\frac{n-1}{2} & \mathrm{si}\; n\;\mathrm{impair} \\ \end{array}\right.

\fbox{x_n=\frac{1+(-1)^n}{2}\left(10+13\frac{n}{2}\right)+\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\left(17+13\frac{n-1}{2}\right)}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 08-06-06 à 09:28

x_2 = \frac{{1 + \left( { - 1} \right)^2 }}{2}\left( {10 + 13\frac{2}{2}} \right) + 0 \\ \\ \Rightarrow x_2= 23

On devrait trouver 24 au lieu de 23.
Ne serait-ce pas un problème où il faudrait ajouter le terme qu'il s'annulle une fois sur deux ?
(j'espère ne pas avoir fait d'erreur)

merci
delphine

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 13:28

D'après ton message tout en haut de ce fil, x2=23 !
Qu'en est-il ?

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 08-06-06 à 13:46

ah d'accord! je pensais que tu parlais de cette suite:

7,7,6,7,7,6,7,7,7,6  avec laquelle j'ai toujours un problème évoqué dans mon message du 25/04/2006 à 21:45

pour la série 7,6,7,6,7,6,7,6,7,6 je pense que c'est résolu.
Mais j'ai vérifié ta formule et elle marche très bien aussi !

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 14:01

OK. Désolé pour le malentendu.
Je vais chercher pour la 2ème suite...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 14:36

Pour la 2ème suite, Delool t'a donné une idée qui marche très bien.

On cherche le polynôme P tel que : (j'ai corrigé une petite erreur)
P(0)=7; P(1)=7; P(2)=6; P(3)=7; P(4)=7; P(5)=6; P(6)=7; P(7)=7; P(8)=7; P(9)=6
On utilise les polynômes d'interpolation de Lagrange :
Il s'agit de :
P(x)=-1/5760x^9+1/144x^8-2339/20160x^7+151/144x^6-6389/1152x^5+1247/72x^4-4891/160x^3+217/8x^2-953/420x+7

Puis :
u_n=u_0+67\times\left[\frac{n}{10}\right]+P\left(n-10\times\left[\frac{n}{10}\right]\right)
où [...] désigne la partie entière

J'ai vérifié sous Excel : ça marche !

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 14:38

Pardon :

On cherche le polynôme P tel que : (j'ai corrigé une petite erreur)
P(0)=7; P(1)=14; P(2)=20; P(3)=27; P(4)=34; P(5)=40; P(6)=47; P(7)=54; P(8)=61; P(9)=67

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 08-06-06 à 17:45


Pour la première méthode, je me suis trompé d'un rang.

On cherche la succession
0, 7, 14, 20, 27, 34, 40, 47, 54, 61, 67, 74, 81, 87, 94, 101, 107

Première méthode

On cherche le polynôme P tel que :
P(0)=7 ; P(1)=14 ; P(2)=20 ; P(3)=27 ; P(4)=34 ; P(5)=40 ; P(6)=47 ; P(7)=54 ; P(8)=61 ; P(9)=67
On utilise les polynômes d'interpolation de Lagrange :
Il s'agit de :
\fbox{P(x)=-\frac{1}{5760}x^9+\frac{1}{144}x^8-\frac{2339}{20160}x^7+\frac{151}{144}x^6-\frac{6389}{1152}x^5+\frac{1247}{72}x^4-\frac{4891}{160}x^3+\frac{217}{8}x^2-\frac{953}{420}x+7} \\
Puis :
\fbox{u_n=u_0+67\times\left[\frac{n-1}{10}\right]+P\left(n-1-10\times\left[\frac{n-1}{10}\right]\right)}
où [...] désigne la partie entière.

Si tu n'aimes pas les polynômes de degré 9...

Deuxième méthode

On essaie de trouver l'équivalent des (-1)^n
Il nous faut donc une fonction indicatrice \Delta_{\equiv m} telle que :
\Delta_{\equiv m}(n)=\{\begin{array}{ll} \\ 1 & \mathrm{si}\; n\equiv m\,\mathrm{mod.}\,10\\ \\ 0 & \mathrm{sinon} \\ \end{array}\.
On trouve "facilement" :
\Delta_{\equiv m}(n)=\left[1-\frac{n-m-10\left[\frac{n-m}{10}\right]}{10}\right]
c'est-à-dire :
\Delta_{\equiv m}(n)=\varphi(n-m)
où \fbox{\varphi(x)=\left[1-\frac{x-10\left[\frac{x}{10}\right]}{10}\right]}
sachant que [...] désigne la partie entière.

Alors :
\fbox{\begin{array}{rcl} \\ u_n & = & u_0\\ \\ & & + 67\left[\frac{n}{10}\right]\varphi(n)\\ \\ & & + \left(7+67\left[\frac{n-1}{10}\right]\right)\varphi(n-1)\\ \\ & & + \left(14+67\left[\frac{n-2}{10}\right]\right)\varphi(n-2)\\ \\ & & + \left(20+67\left[\frac{n-3}{10}\right]\right)\varphi(n-3)\\ \\ & & + \left(27+67\left[\frac{n-4}{10}\right]\right)\varphi(n-4)\\ \\ & & + \left(34+67\left[\frac{n-5}{10}\right]\right)\varphi(n-5)\\ \\ & & + \left(40+67\left[\frac{n-6}{10}\right]\right)\varphi(n-6)\\ \\ & & + \left(47+67\left[\frac{n-7}{10}\right]\right)\varphi(n-7)\\ \\ & & + \left(54+67\left[\frac{n-8}{10}\right]\right)\varphi(n-8)\\ \\ & & + \left(61+67\left[\frac{n-9}{10}\right]\right)\varphi(n-9) \\ \end{array}}

Excel confirme. Sauf erreur.

Cordialement,

Nicolas

Posté par delphserinet (invité)re : problème simple suite je coince 09-06-06 à 08:36

Bonjour Nicolas_75,

d'abord merci pour ta (longue et détaillée) réponse.

Je suis d'accord avec l'expression P(x), mais pourrais-tu m'expliquer comment tu en déduis Un stp ?
Effectivement cete méthode par Lagrange permettrait de trouver n'importe quelle expression générale Un en fonction de U0, elle est donc très intéressante...
Concernant la 2eme méthode, est-ce que Phi(x) est une formule générale ou la formule qui concerne le cas précis ? Je n'ai pas tout compris...

delphine

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : problème simple suite je coince 09-06-06 à 10:11


Pour la 1ère méthode, j'ai exploité l'idée de Delool.
u(n+10)-u(n) est toujours égal à 67.
Donc :
u(n) = u(0) + 67*partieEntière de (n-1)/10 + P(reste de la division euclidienne de n-1 par 10)
où P(0)=7 ; P(1)=14 ; P(2)=20 ; P(3)=27 ; P(4)=34 ; P(5)=40 ; P(6)=47 ; P(7)=54 ; P(8)=61 ; P(9)=67

Pour la 2nde méthode, la fonction phi est défini clairement dans l'encadré. En fait, c'est une fonction très simple :
\fbox{\phi(n)=\{\begin{array}{ll}1&\mathrm{si}\; n \;\mathrm{multiple}\;\mathrm{de}\; 10\\0&\mathrm{sinon}\end{array}\.}

Nicolas


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