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problème suite et integrales

Posté par
anyone 24-03-08 à 20:10

bonsoir, j'ai besoin d'un peu d'aide svp pour un problème que je n'arrive pas à résoudre ..

pour tout n, entier naturel : \int_{0}^{\pi/2} sin^{n} (t)dt

1) calculer W_0 et W_1
2) Démontrer que la suite (W_n) est décroissante et en déduire qu'elle est convergente
3)a. par une ipp, montrer que : pour tout n\ge 2 , nW_n = (n-1)W_{n-2}
b. montrer que  nW_nW_{n-1} = \pi/2
c. montrer que  W_n ~ W_{n-2} puis que  W_n ~ W_{n-1}
d. en déduire que  W_n ~ \sqrt{{\pi}/{2\pi}}
4. à l'aide de la formule 3a déterminer l'expression de  W_net  W_{n+1} en fonction de n (exprimer avec des factorielles)
5. montrer que \lim_{x \rightarrow +\infty} {2^{2n}(n!)^2 / (2n)!\sqrt{n}} = \sqrt{n}


merci beaucoup et bonne soirée ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 24-03-08 à 20:13

Salut

les intégrales de Wallis, un très grand classique tu peux voir par exemple Les Intégrales de WALLIS

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 13:54

pouvez vous m'aider pour la 3b svp ??

merci beaucoup ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:01

(n+1)W_{n+1}W_n et tu remplaces W_n par la relation que t'as trouvé au début

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:07

je ne comprends pas comment en déduire que (n-1)* Wn-1 * Wn-2 = n * Wn * Wn-1 = pi/2

merci ^^

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:13

\Large nW_nW_{n-1}=n\(\frac{n-1}{n}\)W_{n-2}W_{n-1}=(n-1)W_{n-2}W_{n-1}

La suite \Large nW_nW_{n-1} est donc constante égale au terme initial : \Large W_1W_{0}=1\time \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:16

ahh ok ! et pour la 3c, est ce que l'encadrement Wn-2<Wn-1<Wn suffit a justifier les equivalences .. ou je dois démontrer plus ??

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:18

euh, je pense que c'est plutot Wn-2>wn-1>wn .. enfin,  je ne pense pas que ce soit suffisant .. :s

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:26

utilise l'encadrement pour la deuxième équivalence

pour la première tu as: \Large\frac{W_n}{W_{n-2}}=\frac{n-1}{n}\Right_{n^\infty} 1

Donc : \Large W_n\sim W_{n-2}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:27

\Large\frac{W_n}{W_{n-2}}=\frac{n-1}{n}\longright_{n^\infty}%201

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:27

oui c'est ce que j'ai faire .. en revanche, j'ai essayé avec la seconde mais ç

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:28

ça me donne Wn/Wn-1 = n2Wn²/pi je pense que je me suis trompé -_-'

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:33

soit Wn-2 > Wn-1 > Wn (car Wn est décroissante)
on divise par Wn :

n/n-1 > wn-1 / Wn > 1

par encadrement, on a donc Wn~Wn-1

non ??

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:37

On a: \Large\rm\frac{W_n}{W_{n-1}}\le 1

Tu as: \Large\rm\frac{W_n}{W_{n-1}}=\frac{nW_n}{(n-1)W_{n+1}}\ge\frac{n}{n-1}

donc: \Large\rm 1\le\frac{W_n}{W_{n-1}}\ge\frac{n}{n-1}

Par passage à la limite on peux conclure via le théorème des gendarmes que: \Large\rm%20\fbox{W_n\sim%20W_{n-1}}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:38

désolé j'étais en train décrire  !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:38

\Large\rm%201\ge\frac{W_n}{W_{n-1}}\ge\frac{n}{n-1}

Posté par
Tigweg Correcteurre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:44

Bonjour(salut monrow!)!

Quelle est la commande pour encadrer une formule en Latex?C'est super chouette!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:47

Salut Tigre

\fbox{}

\Large\rm\fbox{Tigweg}

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:48

ok !! j'ai réussi à montrer que Wn~(/2n)

mais pour la suite je bloque un peu

merci

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:50

C'est plutôt W_{2n} et W_{2n+1}? non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:51

4$\blue\fbox{Merci\;monrow!On\;peut\;presque\;se\;la\;jouer\;elhor\;du\;coup!!!}


Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:52

euh non, dans mon énoncé j'ai bien Wn et Wn+1

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 14:56

Salut Tigweg

De manière générale, pour piquer une formule Latex écrite dans le site:

Si tu as IE (voir si cela va avec d'autres), alors :

Tu pointes aves la souris sur la formule et clic du bouton droit.
Une fenêtre s'ouvre et tu cliques sur "Propriétés"

Il apparaît alors une fenêtre et à l'emplacement marqué "Adresse URL", il y a un petit texte :
"http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?"

Et derrière ce texte, il y a la formule Latex qui a été utilisée.

Ici c'est : \Large\rm%20\fbox{W_n\sim%20W_{n-1}}

On enserre dans les balises [tex ] et voila.

\Large\rm%20\fbox{W_n\sim%20W_{n-1}}







Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:04

Je vois pas vraiment  !

Une idée tigre?

Posté par
Tigweg Correcteurre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:08

Salut J-P

Merci beaucoup, mais je tourne sous firefox, c'est donc pour cela que je ne suis jamais parvenu à piquer les formules des autres!
Du coup je perds un temps fou à réécrire des choses alors que ça pourrait aller beaucoup plus vite!

MErci quand même

Posté par
Tigweg Correcteurre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:10

Monrow>Je pense que anyone a mal recopié son énoncé, les bons indices sont évidemment 2n et 2n+1.

Du coup il n'y a aucune difficulté!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:12

En effet ! \fbox{Merci}

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:12

non non j'ai bien ça dans mon enoncé .. !! merci quand même, je demanderai a mon prof ^^

sinon, comment en déduire la 5 svp ??

Posté par
anyonere : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:13

je pense aussi que c'est en fonction de 2n et 2n+1 , ça parait un peu plus évident

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:14

Bon calcule W_{2n} et W_{2n+1}

Posté par
Tigweg Correcteurre : problème suite et integrales 25-03-08 à 15:27

Oui!


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