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Problème - Suites

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 28-12-06 à 15:07

Bonjour, voici un énoncé sur lequel j'ai quelques difficultés :

On note ici \Large l^0(\mathbb{R}), l'espace vectoriel des suites réelles et \Large c(\mathbb{R}), le sous-espace vectoriel des suites réelles convergentes.

Pour toute suite réelle \Large u = (u_n)_{n\in\mathbb{N}}, on considère la suite \Large V(u) définie de la manière suivante :

\Large V(u)_0=0

et \Large \forall n \ge 1

\Large V(u)_n = \sum_{k=0}^{n-1}|u_{k+1}-u_k|

On note E, l'ensemble des suites u telles que la suite \Large V(u) converge et pour toute suite \Large u\in E, on note \Large V(u)_\infty la limite de la suite \Large V(u).

2.a. Démontrer que toute suite appartenant à E est bornée.

Voila pour commencer la question qui me pose quelques difficultés

Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:28

Bonjour puisea

u_n=(u_n-u_{n-1})+(u_{n-1}-u_{n-2}+\cdots +(u_1-u_0)

De là il n'est pas difficile de majorer la suite (un) en fonction de termes de V(u) et cette suite est majorée, car convergente.

Courage pour la suite! (si j'ose dire)

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:30

Bonjour,

ne pourrait on pas montrer qu'elle est de Cauchy.

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:30

Amusant! Salut Cauchy!

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:31

Salut Camelia

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:34

Bonjour Camélia et Cauchy

Pour avoir :

u_n=(u_n-u_{n-1})+(u_{n-1}-u_{n-2})+\cdots%20+(u_1-u_0)

cela n'impose-t-il pas d'avoir u_0 = 0 ?

Sinon je ne suis pas certain de comprendre parfaitement....

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:37

Si, tu as raison, mais ça n'empêche pas de majorer.

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:43

L'inégalité triangulaire ..

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:48

Peut-on suivre ce raisonnement :

u_n - u_0 = (u_n-u_{n-1})+(u_{n-1}-u_{n-2})+\cdots%20+(u_1-u_0)

u_n - u_0 = \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k) \le V(u)_n

Or V(u) converge et est donc bornée. Donc la suite u est bornée. CQFD.

?

Merci

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 15:57

Utilises les valeurs absolues puis tu majores comme tu l'as fait avec l'inégalité triangulaire par ta somme jusqu'a n plus |u_0|.

Car la tu ne sais rien sur le signe donc tu ne montres pas la minoration.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:13

Donc si j'ai bien compris :

u_n-u_0=(u_n-u_{n-1})+(u_{n-1}-u_{n-2})+\cdots +(u_1-u_0)

|u_n%20-%20u_0|%20=|\sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)|\le%20V(u)_n

Ce qui est suffisant pour le fait qu'elle soit bornée.

Est-ce correct ?

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:16

Oui car |u_n|<=|u_n-u0|+|u_0|<=V(u)+|u_0|<=C donc u_n est bien bornée.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:34

Merci Cauchy

J'ai démontré sauf erreur que la suite de terme général u_n = (-1)^n n'appartenait pas à E.

Ainsi que si u et v sont deux suites appartenant à E et que \lambda est un réel, alors on a :

V(\lambda u + v)_n \le |\lambda|V(u)_n+V(v)_n

Seulement, on me demande de montrer que E est un espace vectoriel...

Voila le raisonnement que j'ai suivi :

E\subset l^0(\mathbb{R})

la suite nulle appartient à E de manière évidente.

Et E est stable par combinaison linéaire :

V(\lambda u + v)_n \le |\lambda|V(u)_n+V(v)_n

Donc V(\lambda u + v)_n converge.

Donc \lambda u + v \in E

Donc E est un sous-espace vectoriel de l^0(\mathbb{R}) et est donc un espace vectoriel.

Est-ce suffisant ?

Merci.

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:44

Bien oui que veux tu ajouter ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:51

Désolée pour l'abandon de poste, mais j'ai été envahie par une troupe inattendue de copains et... vous vous êtes très bien débrouillés sans moi!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 16:54

Rien de particulier
Je voulais une confirmation

On me demande désormais de simplifier l'expression de V(u)_n lorsque u est monotone.

J'en suis arrivé à :

Si la suite u est positive ou négative on a comme simplification :

V(u)_n = |u_{n}-u_0|

Sinon il existe un rang N où on a :

|u_N| \le 0 \le |u_{N+1}|

Donc on a comme simplification :

V(u)_n = |u_{N+1}-u_0|+|u_n - u_{N+2}|

Est-ce suffisant ? Ou déja est-ce que c'est correct ?
Ca me parait un peu étrange comme simplification, non ?

Merci

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:01

Non, ce n'est pas correct. C'est peut-être une mauvaise rédaction mais, on ne peut avoir |uN|0 que si uN=0.

Mais pourquoi te compliques-tu la vie? Si la suite est monotone, tous les uk+1-uk ont le même signe!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:05

Argh !! quelle erreur...

Bref, comment ca ils ont le même signe ?!

La monotonie traduit la croissance ou la décroissance de la suite, non ? Donc on peut avoir une suite croissante qui diverge dont le premier terme est négatif tout en étant monotone, non ?

Car effectivement si tous les termes ont le même signe, on arrive à :

V(u)_n%20=%20|u_{n}-u_0|

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:06

Si ta suite est croissante u_(n+1)-u_n>0 donc tu peux enlever les valeurs absolues et tout telescoper pour trouver u_(n)-u_0.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:08

Ah oui, j'ai compris !

Je pensais aux termes d'une manière individuelle pas avec la différence de deux termes successifs !

Merci

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:14

Je vous laisse

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:14

Donc pour résumer, on a :

Si la suite est croissante :

V(u)_n=u_n-u_0

Et si la suite est décroissante, on a la même chose en valeur absolue.

Donc quand on me demande quelles sont les suites monotones qui appartiennent à E, il s'agit de toutes les suites monotones et convergentes.

Sauf erreur.

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:14

@+ Cauchy et merci pour l'aide !

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:34

J'ai démontré que la suite V(u) est croissante, et que la suite u-V(u) est décroissante.

On me demande de déduire qu'une suite u appartient à E, si et seulement si, il existe deux suites croissantes et bornées v et w telles que u = v - w.

1.

Si c'est le cas, v et w convergent donc elles appartiennent à E. Or E est un espace vectoriel, donc stable par combinaison linéaire. Donc u appartient à E.

2.

Pour la réciproque ca coince...
On sait que toute suite bornée appartenant à E doit être bornée... Donc u doit être la combinaison linéaire de deux suites bornées.

Je ne vois pas trop comment utiliser les résultats démontrés sur V(u) et u-V(u)...

Merci.

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:39

Justement, si u est dans E tu as u=V(u)-(V(u)-u)

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:45

Ah oui... Bien vu.

Merci Camélia.

On me demande de montrer ensuite que E\subset c(\mathbb{R})

-> C'est fait, aucun soucis.

Je m'attaque à la suite

Posté par
Camélia Correcteurre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:46

Moi, j'abandonne... Mais je reviens demain!

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 28-12-06 à 17:51

Ok

Bonne fin de soirée !

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 12:07

C'est de nouveau moi

On a la suite de terme général :

\Large u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n}

On me demande de montrer qu'elle est convergent et qu'elle n'appartient pas à E...

Mais sauf erreur de ma part,

\Large u_n=(-1)^n

Donc elle ne converge pas et n'appartient pas à E... Je suspecte une erreur d'énoncé...

Merci

Posté par
lyonnaisre : Problème - Suites 29-12-06 à 12:16

Salut pierre

Juste en passant parce que je dois y aller, mais je pense que l'énoncé est correct !

C'est en effet la série harmonique alternée. Elle converge.

Cherche sur google pour te renseigner !

Un lien en vitesse :



Désolé, je ne peux pas rester plus longtemps ...

Romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 12:18

Salut Romain

Je vais regarder tout ca !

@+

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 12:31

Euh...

Ma suite, c'est : \Large%20u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n}

Autrement dit : \Large%20u_n= n\frac{(-1)^n}{n}=(-1)^n

Ce n'est pas :

\Large%20u_n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}

Je suis perplexe

Posté par
Youpire : Problème - Suites 29-12-06 à 12:49

bonjour puisea

Je n'ai pas lu tout le topic mais je ne vois pas comment en partant de 3$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n}

tu arrives à: 3$ u_n=n\frac{(-1)^n}{n}=(-1)^n  

Posté par
lyonnaisre : Problème - Suites 29-12-06 à 13:10

Re

Dans ce cas, je peux comprendre ta perplexité pierre

Youpi >>

3$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^n}{n} = \frac{(-1)^n}{n}(\sum_{k=1}^{n}1) = (-1)^n

Posté par
Youpire : Problème - Suites 29-12-06 à 13:15

Désolé en fait j'ai lu en diagonale je pensais que c'était:

3$ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{k}

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 13:17

Me voila rassuré

Je reviendrais sur cette question (qui est indépendante heureusement) plus tard pour éventuellement faire un lien avec la série harmonique alternée dont tu m'as donné des infos Romain

Je passe au reste : il semblerait, d'après le prof, que cela commence à toucher à des démo de spé... je sens que ca va être drole

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 14:02

Alors je donne l'énoncé de la suite et les questions que je me pose par rapport à ca :

Soient \Large u\in E, v et w, deux suites croissantes et bornées telles que \Large u = u_0+v-w, avec \Large v_0=w_0=0. On considère enfin les deux suites \Large V^+(u) et \Large V^-(u) définies de la manière suivante :

\Large V^+(u)_0 = V^-(u)_0=0

\Large V^+(u)_n = \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)^+

\Large V^-(u)_n = \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k)^-

Avec :

\Large x^+ = max(x,0)

\Large x^- = max(-x,0)

On demande de démontrer que :

\Large v_n \ge V^+(u)_n

et

\Large w_n \ge V^-(u)_n

A-t-on le droit de dire à partir des résultats qu'on a trouvé avant :

\Large v = V(u)

\Large w = V(u)-u

Cela m'étonnerait car c'est un cas particulier... Donc je pense qu'il faut partir de l'expression \Large u = u_0+v-w mais je vois pas comment arriver à mes infs.

Ensuite il faut déduire que \Large v+w \ge V(u)
Ca ne pose aucun problème.

Et enfin pour cette question, il faut discuter de la décomposition :

\Large u = u_0 + V^+(u) - V^-(u)

Merci d'avance de vos avis

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 14:52

Des idées ?

Merci

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 29-12-06 à 15:25

Un petit up

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 30-12-06 à 16:19

Bonjour.

Malgré des recherches, je ne vois toujours pas comment aboutir...

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 30-12-06 à 17:51

T'as essayé une recurrence?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 30-12-06 à 20:02

Bonsoir et merci de ton idée Cauchy

Voila mon raisonnement :

on a \Large v_0 = 0

\Large V^+(u)_0 = 0

Donc \Large v_0 \ge V^+(u)_0

Hypothèse de récurrence : \Large \exists n \in\mathbb{N} tel que \Large v_n \ge V^+(u)_n

Or v est croissante par hypothèse, donc :

\Large v_{n+1} \ge v_n \ge V^+(u)_n

Donc \Large \forall n \in\mathbb{N} on \Large v_n \ge V^+(u)_n. CQFD.

Avec le même raisonnement on démontre facilement la même chose pour la suite w.

Il ne me reste plus qu'à discuter de la décomposition :

\Large%20u%20=%20u_0%20+%20V^+(u)%20-%20V^-(u)

Je vais réfléchir à ca.
Encore merci Cauchy.

Bonne fin de soirée

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 30-12-06 à 20:32

T'as pas ete un peu vite dans la récurrence il faut montrer que c'est superieur à V+(u)_(n+1) non?

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 30-12-06 à 20:49

Ah oui effectivement...

Je pensais que cette hérédité suffisait mais il est clair que non...

Merci de cette remarque.

Posté par
Cauchyre : Problème - Suites 30-12-06 à 21:04

V+(u)_n+1=V+(u)_n+(u_(n+1)-u_n)+

On a l'inegalite si u_(n+1)<=u_n.
Sinon il faut faire quelque chose mais j'ai pas le temps de regarder je sors.

Bon courage

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 31-12-06 à 16:41

Bonjour, c'est encore moi...

Je suis d'accord Cauchy mais on a aucune indication sur la nature de la suite u...

Je regarde un peu si on peu travailler sur la nature de V(u).

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 31-12-06 à 17:33


Dédicace à Kévin

Je pense avoir trouvé pour démontrer que :

\Large \forall n\in\mathbb{N} on a \Large v_n \ge V^+(u)_n

En effet, partons de la fin :

\Large v_n \ge V^+(u)_n

\Large \leftrightarrow v_{n+1} - v_n \ge V^+(u)_{n+1} - V^+(u)_n

\Large \leftrightarrow u_{n+1}-u_n+w_{n+1}-w_n \ge (u_{n+1} - u_n)^+

- Si \red\Large u_{n+1} \ge u_n, on a :

\Large (u_{n+1}-u_n)^+ = u_{n+1}-u_n et

\Large w_{n+1} - w_n \ge 0 car w croissante. Donc l'inégalité est vraie.

- Si \red\Large u_{n+1} \le u_n, on a :

\Large (u_{n+1}-u_n)^+ = 0

\Large \leftrightarrow V^+(u)_{n+1} = V^+(u)_n

et donc avec ce qui a été obtenu dans le message d'hier à 20h02 :

\Large\fbox{v_{n+1}\ge v_n\ge V^+(u)_n \ge V^+(u)_{n+1}

\Large\blue\fbox{CQFD}

Voila, je regarde de suite, si, avec un raisonnement similaire on démontre la proposition concernant la suite w.

Posté par
infophilere : Problème - Suites 31-12-06 à 17:35



Excellent

Bonne soirée

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 31-12-06 à 17:59

Avec un raisonnement similaire, on arrive à montrer la proposition sur la suite w.

Cette fois, il ne me reste plus qu'à discuter de la décomposition suivante :

\Large%20u%20=%20u_0%20+%20V^+(u)%20-%20V^-(u)

Je regarde ca de suite...

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Problème - Suites 31-12-06 à 18:14

Alors :

\Large\fbox{u_n = u_0 + V^+(u)_n-V^-(u)_n \\ u_{n+1} = u_0 + V^+(u)_{n+1} - V^-(u)_{n+1}}

On a donc :

\Large u_{n+1}-u_n = V^+(u)_n - V^+(u)_{n+1} - (V^-(u)_n-V^-(u)_{n+1})

\Large\leftrightarrow u_{n+1}-u_n = (u_{n+1}-u_n)^+ - (u_{n+1}-u_n)^-

Or \red\Large\fbox{x^+-x^-=x}

Donc cette décomposition est tout à fait justifiée et correcte.

Merci à Cauchy et Camélia pour l'aide fournie sur cet exo.

Bonne fin de soirée et bonne année (un tout petit peu en avance).


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