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Problème sur exercices avec Théorème des Valeurs Intermédiaires.
Bonjour à tous 
En fait, je poste surtout dans le but de vous demander des conseils sur ma rédaction, si elle est rigoureuse ou non.
Je me lance :
I) Soit f une application de R dans R continue sur R / lim f en -
= - et lim f en + = +
1) Démontrer qu'
c
R / f(c) = 0.
2) En déduire que tout polynome à coefficients réels de degré impair admet une racine réelle.
Alors j'ai répondu à ces questions, mais je me demande si ma rédaction est vraiment rigoureuse.
1) On sait que lim f en - = - et lim f en + = + ET f continue sur R.
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, cR / f(c) = 0.
2) Si j'ai bien compris la question, j'en arrive à là.
Tout polynome à coefficients réels de degré impair admet en - une limite égale à - si le premier terme est positif et une limite égale à + si le premier terme est négatif, et admet en + une limite égale à + si le premier terme est positif et une limite égale à - si le premier terme est négatif. Or l'on sait que toute fonction polynome à coefficients réels, quelques soient leur degré, est continue sur R.
Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, xR / le polynome soit égal à 0, ie que tout polynome à coefficients réels de degré impair admet une racine réelle.
Alors que pensez-vous de ma rédaction ? Déjà est-ce que c'est bon ^^, et si oui, dois-je l'écrire autrement ? Dois-je pour la 2) écrire ça en mathématique au lieu d'en français ?
II) Soit deux fonctions f et g définies sur [0;1] à valeur dans R et continues sur [0;1] telles que :
f(0) = g(1) = 0 et f(1) = g(0) = 1
On définit pour tout 
R+ la fontion 
définie sur [0;1] à valeur dans R telle que = f(x)-g(x).
1) Mq est continue sur [0;1] 
R+.
2) Montrer que R+, x[0;1] / f(x) = .g(x)
Voilà ma rédaction :
1) Soit h(x) = -.g(x)
On sait que g continue sur [0;1] et que indépendante de x.
Donc R+, h(x) est continue sur [0;1].
On sait que f est continue sur [0;1].
Donc, par somme de fonctions continues sur [0;1], on en déduit que est continue sur [0;1] R+.
2) Je n'arrive pas à répondre à la question en fait 
Faut-il se servir d'une fonction auxilière ? Ou le fait de savoir que f(0) = g(1) = 0 et f(1) = g(0) = 1 suffit-il (car si oui, je ne vois pas comment ^^) ?
Voilà, donc pour le 1), la rédaction est-elle bonne ?
Et pour le 2), peut-on me donner un indice pour que je puisse être lancé SVP ?
Voilà, j'ai terminé mon long roman 
En vous remerciant.
Bonjour,
le théorème des valeurs intermédiaires ne prend pas pour hypothèses que les bornes soient un des infinis.
Mais on peut trsè facilement s'y ramener.
A+
Tu as fait la remarque pour le 2° du I) non ?
Mais de toutes les manières, même si je ne justifie pas avec le théorème, ça devrait être bon non ?
Ou alors comment dois-je justifier ça ?
Et pour reste, quelqu'un pourrait-il m'aider ?
Merci
Pour le I 1) il serait plus clair de dire : le théorème des valeurs intermédiaires entraîne que l'image de f est un intervalle, donc cet intervalle est R entier, donc il contient 0 .
Pour le 2) il serait plus joli de dire : quitte à changer le polynôme P en -P on peut supposer que son COEFFICIENT DOMINANT (premier terme ne veut rien dire ça dépend dans quel ordre tu ranges les termes) est positif Et ensuite on dit ce que tu as écri.
II 2) non pas d'autre fonction regarde que vaut PHI(landa) en 0 et 1 et applique le théorème des valeurs intermédiaires !
Bonsoir.
Pour le I)1), je ne saisi pas trop ce que vous voulez dire.
En fait, comment fait-on pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en l'infini ? Otto dit qu'on peut s'y ramener très facilement, mais je ne vois pas comment 
A-t-on le droit de changer l'énoncé ainsi ?
Soit f une fonction continue sur 
{-
{+} = barre
Soient (a;b) barre / a
b et f(a).f(b) < 0
Alors bla bla bla ?
Ou si ce n'est pas bon, comment puis-je justifier mon I) 1) (car ne comprend pas votre méthode Lolo) ?
Pour la I) 2), effectivement, c'est mieux, merci
Pour le II) 2), en fait j'avais fait une petite erreur de calcul, et donc je ne pouvais rien en déduire (rahlala, pas bien ^^).
Donc en somme, le seul problème qui me reste, c'est pour le théorème des valeurs intermédiaires en l'infini 
Merci de votre aide.
Bonne soirée
Pour moi le théorème des valeurs intermédiaires c'est :
Soit f continue sur un intervalle I alors f(I) est un intervalle J . (tu peux érire J=f(I)).
Ici si f tend vers + l'infini en +infini, tu sais donc que J = (a, +infini[ et comme f tend vers -infini en -infini
J = ]-infini,+infini[=R , le réel 0 est dedans donc 0 = f(i) pour un i dans I .
lolo
En fait, votre méthode, Kachouyab, consiste, si j'ai bien compris, à dire que :
Si lim en - l'infini de f(x) = - l'infini ET si f est continue, alors il existe un b < 0 tel que f(b) < 0, etc de même pour + l'infini, ai-je bien compris ?
En tous cas, merci de vos réponses à vous deux
Bonne soirée.
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