Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

probleme sur la loi de Paréto

Posté par
robby3 17-06-08 à 19:06

Bonsoir tout le monde, voici un probleme sur la loi de Pareto... Quelques questions me posent problèmes...

La loi de Pareto, encore appelée loi de puissance est souvent utilisée pour modéliser les dépassements d'un seuil.
On dit que \large X suit une loi de Paréto \large P(a,b) avec \large a,b>0 si \large X=b.\exp(Z) où \large Z suit une loi exponentielle \large E(a)
a) Déterminer la fonction de répartition de \large X puis vérifier que sa densité de probabilité est donnée par \large f(x)=\frac{ab^a}{x^{a+1}}1_{\{x\ge b \}}
b) Pour \large a>2, calculer l'espérance et la variance de \large X
c) Soit \large X et \large Y 2 var indépendantes de loi de Pareto \large P(a,1) et \large P(b,1), a,b>0,\ a\neq b
Calculer la densité de probabilité du couple \large (U,V) avec \large U=XY, V=\frac{X}{Y}
d) En déduire les lois marginales de \large U et \large V
e) Les variables aléatoires \large U et \large V sont-elles indépendantes ?
f) A partir de \large X et \large Y, calculer la covariance entre \large U et \large V  et trouver l'ensemble des couples \large a,b>0 pour lesquels cette covariance est nulle.

==> Alors j'ai fait la a) et la b)
la c) mais je ne suis pas sur du résultat, je vous mets ce que j'ai et mon problème est à la question d)...
Voici ce que j'ai pour la c)...

\large X suit la loi \large P(a,1) donc f_X(x)=\frac{a}{x^{a+1}} 1_{\{x\ge 1\}}
\large Y suit la loi \large P(b,1) donc f_Y(y)=\frac{b}{y^{b+1}}.1_{\{y\ge 1\}}
\large U=XY, \quad X=\sqrt{UV}
\large V=\frac{X}{Y},\ \quad Y=\sqrt{\frac{U}{V}}
Le |jacobien| vaut \large \frac{1}{2V}.

\forall \phi mesurable positive :
\large \begin{align*} \\ E\Big(\phi(XY,\frac{X}{Y})\Big) &= \iint_{[1;+\infty[^2} \phi(u,v).\frac{a}{(\sqrt{uv})^{a+1}}. \frac{b}{(\sqrt{\frac{u}{v}})^{b+1}}. \frac{1}{2v} \mathrm du\mathrm dv \\ \\ &= \iint_{[1;+\infty[^2} \phi(u,v).\frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}. (\sqrt{v})^{a-b}.v}\mathrm du\mathrm dv \\ \end{align*}
Donc \large (U,V) a pour densité :
\large f_{(U,V)}(u,v)= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}. (v)^{\frac{a-b}{2}+1}}. 1_{(u,v)\in [1;\infty[^2}(u,v)

Ensuite pour la question d), pour avoir la loi marginale de \large U, j'intègre l'expression précédente par rapport à \large V...
\large \begin{align*} \\ f_U(u) &=\int_1^{\infty} \frac{ab}{2}\frac{1}{(\sqrt{u})^{a+b+2}. (v)^{\frac{a-b}{2}+1}} \mathrm dv \\ \\ &= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}}. \int_1^{\infty} \frac{1}{(v)^{\frac{a-b}{2}+1}} \mathrm dv \\ \\ &= \frac{ab}{2(\sqrt{u})^{a+b+2}}.[\frac{-2v^{\frac{b-a}{2}}}{(a-b)}]_1^{\infty} \\ \end{align*}
le souci est de savoir si \large \frac{b-a}{2} est plus petit ou non que 1... Pour le souci en +\infty
Merci d'avance de votre aide !

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 10:53

quelqu'un pour me dire si c'est juste?

Posté par
thiblepriRe 18-06-08 à 16:30

Je dirais plutôt qu'il faut se poser la question si a est plus petit ou plus grand que b c'est la condition pour que ça tende vers 0. Ma réponse est donc:
f<sub>U</sub>(u)=

+ si b-a>0
v)a+b+2*(a-b))" alt="a*b/((v)a+b+2*(a-b))" class="tex" />

Posté par
thiblepriDésolé 18-06-08 à 16:33

fU(u)=




+ si b-a>0

Et l'autre truc j'arrive pas à l'écrire. Ca correspond au calcul normal quoi désolé je ne suis pas encore un Dieu en LaTeX)

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 18:22

Salut Robby,

Pas entièrement d'accord avec toi pour la densité du couple (U,V). Je trouve la même expression que toi pour la fonction, que tu peux écrire de façon plus symétrique :
3$\rm f_(U,V)(u,v) = \frac{ab}{2 u^{\frac{a+b}{2}+1} v^{\frac{a-b}{2}+1}} I_D(u,v)
où 2$\rm I_D(u,v) désigne l'indicatrice du domaine D des (u,v), mais ce domaine n'est pas le rectangle que tu dis; à mon avis D est défini par :  1u<  et  1/u vu.
Les bornes des intégrales dans la suite de l'exo sont ainsi modifiées, ça devrait résoudre les soucis de convergence ...

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 18:39

salut PIL,
je ne comprend pas ton indicatrice ni ta définition du domaine D...

thiblepri>merci de ton aide meme si j'ai pas compris grand chose

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 18:49

comme \large \rm \sqrt{UV}\ge 0 => V\ge \frac{1}{U}
par contre \large V\le U ?? pourquoi?

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 19:09

On a  1y, donc 1/y y donc x/y, xy, donc v u.

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 19:23

d'accord.

\large f_U(u)=\Bigint_{1}^{\infty} \frac{ab}{2u^{\frac{a+b}{2}+1}.v^{\frac{a-b}{2}+1}} dv \\ =\frac{ab}{2u^{\frac{a+b}{2}+1}}\Bigint_{\frac{1}{u}}^u \frac{1}{v^{\frac{a-b}{2}+1}} dv=\frac{ab}{(b-a).u^{\frac{a+b}{2}+1}}.[v^{-\frac{a-b}{2}}]_{\frac{1}{u}}^u=\frac{ab}{b-a}.\(u^{\frac{(b-a)}{2}}-1\).u^{-(b+1)}

qu'en penses tu PIL?

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 19:46

Après ton dernier signe =, je trouve
3$\rm = \frac{ab}{(b-a) u^{\frac{a+b}{2}+1}} (u^{- \frac{a-b}{2}} - u^{\frac{a-b}{2}}) = ... = \frac{ab}{b-a} (\frac{1}{u^{a+1}} - \frac{1}{u^{b+1}}),
avec 1u<.

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 20:06

ok,j'ai la meme chose

\large f_V(v)=\frac{ab}{2.v^{\frac{a-b}{2}+1} }\Bigint_1^{\infty} \frac{1}{u^{\frac{a+b}{2}+1}} du=\frac{ab}{2.v^{\frac{a-b}{2}+1}}.[\frac{u^{-\frac{a+b}{2}}}{-\frac{a+b}{2}}]_1^{\infty} =-\frac{ab}{(a+b).v^{\frac{a+b}{2}}}

donc \large U et \large V ne sont pas indépendantes

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 20:57

dans l'expression de \large f_V j'ai oublié de préciser que \large v\in[1,+\infty[

j'ai ensuite:
\large E[UV]=\frac{a-a^2(a-2)}{(a-1)^2(a-2)} \\
\large E[U]=E[XY]=\Bigint_{[1,+\infty[^2} \frac{ab.xy}{x^{a+1}.y^{b+1}} dx.dy=ab\Bigint_1^{+\infty} \frac{1}{x^a}.\(\Bigint_1^{\infty} \frac{1}{y^b} dy\) dx

est-ce moi ou y'a un soucis selon que a>1 et a est compris entre 0 et 1.??

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 22:20

Note que V = X/Y peut prendre n'importe quelle valeur v>0 et qu'il faut distinguer deux cas :
1) si o<v<1, on a 1/v u<; alors

3$\rm f_{V}(v) = \int_{1/v}^{\infty} ...du = ... = \frac{ab}{a+b} v^{b-1} ;

2) si 1v<, on a vu<; alors

3$\rm f_{V}(v) = \int_{v}^{\infty} ...du = ... = \frac{ab}{a+b} \frac{1}{v^{a+1}} .

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 22:30

euh là, j'avoue ne pas comprendre...

pour moi là, u était entre 1 et +\infty

je comprend pas les distinguo avec les v...étant donné que  \rm \large D=\{1\le u<\infty et 1/u\le v\le u\}

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 18-06-08 à 22:57

Le domaine D est une sorte de "triangle curviligne infini" dont le bord est  
- en haut : la demi-droite v=u avec 1u<,
- en bas : la portion d'hyperbole v=1/u avec 1u<.
Donc quand tu intègres en u, tu fixes v, et les limites pour u ne sont pas les mêmes selon que v<1 ou v>1.
D'accord ?

Note que sans autre calcul on voit que U et V ne sont pas indépendantes ...

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 11:12

je crois que j'ai saisi...c'est à cause de cette inégalité là 1/u\le v\le u??

sinon aprés,je trouve pareil...

par contre pour l'espérance, (hier à 20:57)...est-ce correct??

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 11:21

Comme X et Y sont indépendantes,
as t-on que \large E[XY]=E[X]E[Y]?
alors dans ce cas \large E[XY]=\frac{ab}{(a-1)(b-1)}

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 11:30

vu qu'on a deux types de densités pour la var V, comment faire  pour calculer son espérance??

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:13

Salut Robby,

C'est bon pour E(U) = E(XY) = E(X)E(Y) = ab/((a-1)(b-1)).
Pour E(V) tu écris

3$\rm E(V) = \int_0^1 \frac{ab}{a+b} v^b dv + \int_1^{\infty} \frac{ab}{a+b} \frac{1}{v^{a}} dv.

Je trouve E(V) = ab/((a-1)(b+1)).

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:22

ah oui!!
d'accord!!!

donc
\large Cov(U,V)=E[UV]-E[U]E[V]=\frac{a-a^2(a-1)}{(a-1)^2(a-2)}-\frac{a^2b^2}{(a-1)^2(b-1)(b+1)}

c'est pas trés beau...

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:24

Pour E(UV) long calcul; j'ai trouvé E(UV) = ab/((a-2)b).
Existence : pour E(U) et E(V) il suffit que a>1,b>1; pour E(UV), c'est a>2, b>1 me semble-t-il.

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:27

\large E[UV]=E[X^2] non?

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:30

pour moi
\large E[UV]=E[X^2]=\frac{a+a^2(a-2)}{(a-1)^2(a-2)}

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:30

Je trouve

3$\rm Cov(U,V) = \frac{ab}{(a-2)b} - \frac{(ab)^2}{(a-1)^2(b^2 -1)}

c'est pas vraiment plus beau ...

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:34

Tu as raison avec E(UV) = E(X2)! Je vais refaire mon calcul ...

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:35

moi j'ai:

\large Cov(U,V)=\frac{a+a^2(a-2)}{(a-1)^2(a-2)}-\frac{a^2b^2}{(a-1)^2(b^2-1)}=\frac{a^2-a^3-a+a^2b^2+ab^2}{(a-1)^2(a-2)(b^2-1)}

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:37

il faut regarder quand est-ce que ce truc là vaut 0...
alors évidemment:

a\neq \{1,2\} \\ b\neq \{1,-1\}

y'a la solution triviale a=b=0

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 12:56

J'ai refait mon calcul(trop long, j'ai utilisé la densité du couple (U,V) ...) et j'ai aussi utilisé ta remarque : je persiste à dire que E(UV) = a/(a-2) (je n'avais même pas vu la simplification par b dans 12:24 !).
Pour Cov(U,V) = 0, il me semble que b=a-1 suffit (note que a>2,b>1).

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 13:01

X suit la loi de Pareto de parametre a et 1.

\large f_X(x)=\frac{a}{x^{a+1}}.1_{[x\ge b]} \\
or \large E[X^2]=Var(X)+E[X]^2 ok?

\large Var(X)=\frac{a}{(a-1)^2(a-2)}
et \large E(X)=\frac{a}{a-1} ok??

je comprend pas comment tu obtiens \large E(UV)=E(X^2)=\frac{a}{a-2} ??

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 13:16

Je n'ai pas utilisé la variance mais fait le calcul direct :

3$\rm E(X^2) = \int_1^{\infty} x^2 \frac{a}{x^{a+1}} dx = ... = \frac{a}{a-2}

qu'en penses-tu ?

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 13:39

j'en pense que tu as raison sur le calcul à condition que a>2...non?

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 13:51

bon ton résultat semble plus correct que le mien, je te fais confiance

Posté par
PILre : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 14:08

C'est bien sympa de ta part de me faire confiance, ce serait mieux que tu sois sûr ...
Conditions sur a : a>0 pour que ce soit une densité de proba., a>1 pour que la moyenne existe, a>2 pour que la variance existe.

Posté par
robby3re : probleme sur la loi de Paréto 19-06-08 à 14:36

Citation :
a>0 pour que ce soit une densité de proba., a>1 pour que la moyenne existe, a>2 pour que la variance existe.

>oui!!

ça c'est ok.

Merci PIL.

Posté par
H_aldnoerre : probleme sur la loi de Paréto 25-06-08 à 22:20

Tig si tu passes par ici !



J'ai essayé ta méthode pour la question c)  :


On prend \Large{ h : (x,y) \to (xy,\frac{x}{y}) qui est un difféomorphisme, je ne sais pas par contre de quel ensemble dans quel ensembe.


Je prend une partie \Large{A} mesurable de \Large{\mathbb{R}^2} et je cherche \Large{\mathbb{P}((U,V)\in A)=\Bigint_{A}g_{(U,V)}(u,v)dudv.


On a \Large{(U,V)=h(X,Y).
Soit \Large{\mathbb{P}((U,V)\in A)=\mathbb{P}((X,Y)\in h^{-1}(A)).
Help!


D'ou \Large{\mathbb{P}((U,V)\in A)=\Bigint_{h^{-1}(A)}g_{(X,Y)}(x,y)dxdy=\Bigint_{A}g_{(X,Y)}(h(u,v))J_{h^{-1}}(u,v)dudv.



Mais je bloque sur le calcul de g_{(X,Y)}(h(u,v))=g_{(X,Y)}(uv,\frac{u}{v})

Posté par
Tigweg Correcteurre : loi de Rademacher et covariance 25-06-08 à 23:55

Pour résumer, tu as fait une erreur dans l'intégrale, il faut remplacer le h de l'intégrande par h-1.

Ensuite le difféomorphisme va de R+*² dans lui-même.

Ensuite par indépendance de X et de Y,la densité jointe de (X,Y) est égale au produit des densités de X et Y, soit à

4$\fr{ab}{x^{a+1}y^{b+1}}\;\mathbb{1}_{x\ge 1, y\ge 1}.


On remplace le couple (x,y) par 4$h^{-1}(u,v)=(\sqrt{uv};\sqrt{\fr uv}).

Enfin on multiplie ce résultat par l'inverse de la valeur absolue du jacobien de h, donc par y/(2x) = 1/(2v).

Le résultat est, sauf erreur, la densité du couple (U;V).

*** message déplacé ***

Posté par
H_aldnoerre : loi de Rademacher et covariance 26-06-08 à 00:42

Rebonsoir Tig!


Alors j'ai corrigé la chose suivante :
\Large{\mathbb{P}((U,V)\in%20A)=\Bigint_{A}g_{(X,Y)}(h^{-1}(u,v))J_{h^{-1}}(u,v)dudv


Donc après je calcul le Jacobien, et la je trouve quelque chose de bizzare on dirait :

Je nomme \Large{h_1(x,y)=xy} et \Large{h_2(x,y)=\frac{x}{y}.
Voici mes dérivées partielles :

\Large{\frac{\partial h_1}{\partial x}(x,y)=y}
\Large{\frac{\partial h_2}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{y}}
\Large{\frac{\partial h_1}{\partial y}(x,y)=x}
\Large{\frac{\partial h_2}{\partial y}(x,y)=\frac{-x}{y^2}}


Soit \Large{J_h(x,y)=\frac{\partial h_1}{\partial x}(x,y)\frac{\partial h_2}{\partial y}(x,y)-\frac{\partial h_2}{\partial x}(x,y)\frac{\partial h_1}{\partial y}(x,y)=\frac{-1-x}{y} \\

Ou est l'erreur ?


Merci encore de ton aide!

*** message déplacé ***

Posté par
Tigweg Correcteurre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 00:53

Tu as fait une simple erreur de calcul dans l'opération finale, on trouve bien -\frac{x}{y}-\frac{x}{y}=-\frac{x}{y}=-2\frac{x}{y}

Posté par
H_aldnoerre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:00

Donc on trouve bien -2v et en module 2v d'ou \Large{J_{h^{-1}}(u,v)=\frac{1}{2v}.


Je retrouve bien l'expression de PIL \Large{f_(U,V)(u,v)=\frac{ab}{2%20u^{\frac{a+b}{2}+1}%20v^{\frac{a-b}{2}+1}}

Mais je ne vois pas comment trouver \Large{I_D(u,v)=\;\mathbb{1}_{\sqrt{uv}\ge%201,%20\sqrt{\frac{u}{v}}\ge%201}(u,v)

Posté par
Tigweg Correcteurre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:12

Qu'appelles-tu \Large{I_D(u,v) ?

Je ne le vois nulle part écrit!

Posté par
H_aldnoerre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:20

Oups!

C'est pour reprendre les notations de PIL le 18/06/2008 à 18:22 !

Posté par
Tigweg Correcteurre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:25

Oui j'ai fini par voir.PAr contre que ne comprends-tu pas?

Il faut remplacer x et y partout, y compris dans l'indicatrice!
Donc ta formule tombe immédiatement.

Posté par
Tigweg Correcteurre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:35

De plus on retombe bien sur la formule de PIL puisque pour u et v > 0 on a bien

4${\sqrt{uv}\ge%201\;et\;%20\sqrt{\frac{u}{v}}\ge%201}\;\Longleftrightarrow\; \fr 1u\le v\le u , ce qui entraîne notamment que 4$u\ge 1.

Posté par
H_aldnoerre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:37

Ca va aller pour ce soir, sinon je vais pas m'en sortir!


J'y réfléchis demain matin! Merci pour toute ton aide Tig, vraiment cool de travailler avec toi

Posté par
Tigweg Correcteurre : probleme sur la loi de Paréto 26-06-08 à 01:39

MErci H, c'est gentil ça!

Bonne nuit, je crois que je fatigue moi aussi!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !