salut didoune
je te suggère de nous mettre ce que tu as réussi à faire afin que nous
puissions t'aiguiller sans se farcir tout le pb
@ plus

1)a)

|z'|=|-1/z|=|-1|/|z|=1/|z|
on a donc |z'|=1/|z|

de même arg(z')=arg(-1/z)=arg(-1)-arg(z)=pi-arg(z)
on a donc arg(z')=pi-arg(z)

b)
M1 est sur le cercle de centre 0 de rayon 2
Pour trouver M'1:
on sait de M'1 est sur le cercle de rayon 1/2 (voir premiere relation
de a)...)
et que si theta est l'arg de M1 alors pi-theta est celui de M'1.
On a donc positionné M'1 (il faut que tu fasse un dessin)
I est ensuite le milieu de M1M'1


2)a)
z=e(iT) donc
l'affiuxe de I est (1/2)(e(it)-1/e(it))=(1/2)(e(it)-e(-it))
=isin(T)

b) si M est sur le centre de rayon 1 de centre O, son affixe est forcement
de la forme e(it) alors pour trouver I , il suffit de tracer le droite
horizontale passant par M, elle coupe l'axe vertical des ordonnées
en I (d'ordonnée sin(t)...) d'apres 2)a) biensur!

Si M decrit C le t de e(it) decrit [O, 2pi] donc le sin(t) decrit [-1,1]
donc I decrit le segment des complexes purs [-i,i] (voir un dessin)


3)a) M et I sont confondus si z=(1/2)(z-1/z)
2z=z-1/z
z=-1/z
z²=-1

les solutionssont donc i et -i
b) (z-2i)²+3=z²-4-4iz+3=z²-4iz-1

on veut affixe de I=2i:
2i=(1/2)(z-1/z)
4i=z-1/z
on multiplie par z:
z²-4iz-1=0
d'apres le debut de la question:
(z-2i)²+3=0
(z-2i)²=-3
donc
z-2i=rac(3)i ou z-2i=-rac(3)i
d'ou
z=(2+rac(3))i ou z=(2-rac(3))i

4)
M: x+iy
alors I:
z=(1/2)(x+iy-1/(x+iy))=
(1/2)((x+iy)²-1)/(x+iy)
on multiplie par quantité conjuguée:

z=(1/2)[(x+iy)²-1](x-iy)/(x²+y²)
=(1/2)[x²-y²+2ixy-1)(x-iy)/(x²+y²)
=(1/2)(x^3-xy²+2ix²y-x-x²iy+iy^3+2xy²+iy)/(x²+y²)

donc Re=(1/2)(x^3-xy²-x+2xy²)/(x²+y²)
et Im=(1/2)(2x²y-x²y+y^3+y)/(x²+y²)

soit en simplifiant:
Re=(1/2)x(x²-1+y²)/(x²+y²)
et Im=(1/2)y(x²+y²+1)/(x²+y²)


b) I est sur l'axe des abcsiesse si il est réel soit si sa partie
Im est nulle:

Im=O
(1/2)y(x²+y²+1)/(x²+y²)=0

soit y=O
ou bien
x²+y²+1=O impossible car x²+y²>=0
donc l'ensemble cherché est celui des y=O c'est a dire les nombres
réels (privé de 0 car x=y=0 n'est pas defini, si on chipotte...)


c) a l'inver si il est suer l'axe des ordonnées is il est
imaginaiere pur c'est a dire si RE=O

Re=(1/2)x(x²-1+y²)/(x²+y²)=O
soit x=O
soit x²+y²-1=O

soit x=O soit x²+y²=1

x=O donc l'ensemble des imaginaires pur convient
x²+y²=1 donc le cercle de centre O de rayon 1 convient
(il faut ici aussi enlever le point O des solutions car x=y=O ne convient
pas...si on chipotte)

OUF
A+

1)a)
z' = -1/z

|z'| = 1/|z|
|z|.|z'| = 1

arg(z') = Pi -arg(z)
---
b)
|z1| = 2
-> |z'1| = 1/2
et arg(z1') = Pi -arg(z1)

On a un point M1 sur le cercle de centre  et de rayon 2. (soit C1 ce
cercle)

On trace le cercle de rayon = 1/2 ed de centre O, c'est un premier
lieu de M1. (soit C2 ce cercle)
On trace la // à l'axe des réels passant par M1, elle rencontre
le cercle C1 en un point différent de M1, soit A ce point.
La droite passant par O et par A est un second lieu du point M1'.

M1' est le point de rencontre des 2 lieux de M1' tracés.

I1 se trouve en recherchant le milieu du segment [M1M1'].
----------
2)
a)

z = e^(iT)

z' = -1/(e^it) = - e^(-it)

(z + z')/2 = [e^(iT) - e^(-it)]/2

(z + z')/2 = [cos(T) + i.sin(T) - (cos(-T) + i.sin(-T))]/2
(z + z')/2 = [cos(T) + i.sin(T) - cos(T) + i.sin(T))]/2
(z + z')/2 = i.sin(T) qui est l'affixe de I.
---
b)
z2 = e^(iT2)
l'affixe de I2 = i.sin(T2)

I2 se trouve à la rencontre de l'axe des imaginaires avec la //
à l'axe des réels passant par M1

L'ensemble décrit par I lorsque M décrit C est la portion d'axe imaginaire
qui est diamètre de C.
-----
3)
a)
M : z
M': -1/z
I : (z - (1/z))/2

M et I confondus si z = (z - (1/z))/2
2z = z - (1/z)
z = -1/z
z² = -1
donc les points M d'affixe i et -i
---
b)
(z-2i)² + 3 = z² - 4iz - 4 + 3 = z² - 4iz - 1

L'affixe de I est 2i si:
(z - (1/z))/2 = 2i
z - (1/z) = 4i
z² - 1 = 4iz
z² - 4iz - 1 = 0

-> (z - 2i)² + 3 = 0
(z-2i)² = -3
z - 2i = +/- V3.i
z = 2i +/- V3.i
z = i(2 +/- V3)  affixe des points M du plan complexe pour lesquels
l'affixe de I est 2i.
----------
4)
a)
z = x + iy
z' = -1/(x+iy) = -(x-iy)/[(x+iy).(x-iy)] = (-x+iy)/(x²+y²)

(z + z')/2 = [x + iy + (-x+iy)/(x²+y²)]/2

(z + z')/2 = (x(x²+y²) +iy(x²+y²)- x + iy)/(2.(x²+y²))
(z + z')/2 = (x³+xy²-x + iy(x²+y²+1))/(2.(x²+y²))
(z + z')/2 = (x³+xy²-x)/(2.(x²+y²)) + i.y(x²+y²+1)/(2.(x²+y²))

Partie réelle de l'affixe de I = (x³+xy²-x)/(2.(x²+y²))
Partie imaginaire de l'affixe de I = y(x²+y²+1)/(2.(x²+y²))
---
b)
y(x²+y²+1)/(2.(x²+y²)) = 0
y(x²+y²+1) = 0

y = 0 -> axe des réels
x² + y² + 1 = 0 est impossible

-> A est l'axe des réels privé de l'origine.
---
c)
(x³+xy²-x)/(2.(x²+y²)) = 0
(x³+xy²-x) = 0
x(x²+y²-1) = 0

x = 0 -> axe des imaginaires privé de l'origine.
x² + y² = 1 -> cercle de centre  et de rayon 1

-> B est l'axe des imaginaires privé de l'origine Union avec
cercle de centre  et de rayon 1
----------
Sauf distraction.

Attention, je n'ai rien relu (as usual).

Désolé guillaume, je n'avais pas vu ta réponse, en envoyant
la mienne.
Il reste à didoune à jouer au jeu des 7 erreurs entre nos réponses.

A+

Oui JP, cela m'arrive aussi souvent!

La satisafaction c'est quand les réponses coincident.
J'ai l'impression que l'on rédige de la même manière: sans vraiment
relire. Ecrire sur le web c'est quand meme pas comme ecrire
sur une feuille!
Pour nous c'est un exercice de concentration et de justesse, pour
les lecteurs une vrai incitation à la relecture des corrections apportéées...

Didoune saura, j'en suis sur, séparer le bon grain de l'ivraie,
(surtout s'il y a que des bons grains )

Amicalement,

A+

Merci beaucoup pour vos réponses!
Je voulais aussi dire à lolo que je n'avais pas écrit mes résultats
car le sujet lui-même était très long, je voulais dire l'essentiel!
Vos résultats me rassurent quand-même  car j'avais juste pour les
questions que j'avais traité enfin sauf la 4).